Загальна постановка задачі динамічного програмування

Нехай планується діяльність деякої системи s промислових підприємств Р₁,Р₂,…,Рj,…,Р_n на деякий період часу Т, що складає з k господарських років t_i, де (t=1,…,k), причому T=å t_i.

На початку періоду Т на розвиток підприємств виділені основні засоби D.

На початку кожного року виробляється фінансування всієї системи підприємств, тобто виділяється частина основних засобів. Відомий первісний стан системи S₀, який характеризується кількістю засобів, вже вкладених у підприємства і кінцевий стан S_k, сумою D.

Як варто розподілити по підприємствах і роках основні засоби D, щоб до кінця періоду Т сумарний доход W від усієї системи підприємств був би max?

Позначимо через x_ij суму, виділену на початку i-го року j-му підприємству (i=1,…,k),(j=1,…,n).

Припустимо, що засоби на i-му етапі розподілені, тобто обране визначене керування u₁, воно полягає в тому, що на початку i-го періоду підприємству Р₁ виділені засоби x_i1, підприємству Р₂ – x_i2, і т.д.

Тоді вектор U_i=(x_i1,x_i2,…,x_in) визначає розподіл засобів на i-му кроці.

Сукупність виділених засобів (керувань) на k кроках виразжається системою векторів

U₁=(x_11, x₁₂,…,x_1n)

U₂=(x₂₁,x₂₂,…,x_2n)

…………..

U_k=(x_k1,x_k2,…,x_kn)

Сумарний доход за k років залежить від сукупності керувань, тобто є функцією від U₁,U₂,…,U_k:

W=W(U₁,U₂,…,U_k).

Завдання полягає в тому, що: на кожнім етапі необхідно вибрати таке керування, щоб сумарний доход від усієї системи підприємств був max.