Існування частки, її єдиність

Чи завжди існує частка натуральних чисел а і b? Відповідь на це запитання дає наступна теорема:

Теорема. Для того, щоб існувала частка двох натуральних чисел а і b, необхідно, щоб .

Доведення. Нехай частка натуральних чисел а і b існує, тобто існує таке натуральне число с, що . Для будь-якого натурального числа с правильне твердження . Помножимо обидві частини цієї нерівності на натуральне число b, отримаємо . Оскільки , то . Теорему доведено.

Чому дорівнює частка і натурального числа b? За означенням це таке число а, яке задовольняє умові . Так як , то рівність виконується, якщо . Отже, , якщо .

Теорема. Якщо частка натуральних чисел існує, то вона єдина.

Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що існують дві частки і , тобто і . Нехай, наприклад, . Проте це суперечить властивості монотонності дії множення натуральних чисел. Отже, наше припущення, що існують два різних числа і , які є частками від ділення а на b, неправильне. Теорему доведено.

Із означення випливає, що:

а) частка від ділення натурального числа а на 1 дорівнює числу а, тобто ;

б) частка від ділення натурального числа а самого на себе дорівнює 1, тобто .