Решение. (а)При условии p=0 , нормированные выходы E0,

(а)При условии p=0, нормированные выходы E0,..., E_k являются независимыми и, кроме того, для E₀ , k будет (0, 1). Таким образом, зависимость получается E₀ = p₀, при E₁,E₂... E_k равенство будет сохраняться, т.е. исходя из этого, при подстановке в уравнение

Pr (∪^к_{j= 1} E_j) = 1 - (1 - р)^k мы получим верное равенство 1=1.

(б) Существует по крайней мере одно из E_k, где 1 ≤ k ≤pk, которое больше или равно p₀ (случай вероятности Pr (∪^k_{j= 1} E_j)), либо все меньше p₀ (случай вероятности pk).

Это подтверждает что Pr (∪^k_{j= 1} E_j) ≤ рк.

Второе неравенство очевидно верно при p = 2, так что теперь мы проверим его для p ≥ 3.

Пусть х,будет k, 0 ≤х ≤ 1, и пусть p=n​​. Затем исходя из уравнения (а) покажем, что

1-(1 - х) ⁿ ≤ 1 - nx + n²x² / 2

для 0 ≤ х ≤ 1 и n ≥ 2.

Это, очевидно, выполняется при х = 0, так что это может быть проверено при 0 ≤ х ≤ 1, показав, что то же самое неравенство верно при первой производной каждой стороны, т. е. если

-n (1 - х) ^n-1 ≤ -n + n²x

Это снова выполняется при х = 0, так что это будет проверено в производной удовлетворяющей неравенству, т. е.

1-(1 - х) ⁿ ≤ 1 - nx + n²x² / 2

который, выполняется для 0 ≤ х ≤ 1,

где 1-(1 - х) ⁿ = 1 - (1 - р)^k = Pr (∪^к_{j= 1} E_j)

Это подтверждает что

рк- рк²/ 2 ≤ Pr (∪^k_{j= 1} E_j)

9.17

(а) Пусть u - идеальная PN-последовательность, удовлетворяющая . Пусть b = u*g для некоторого расширения канала g. Покажите, что . Подсказка: Один подход заключается в том, чтобы на b наложить фильтр b†. Используйте коммутативность наложения наряду с u*u†. Также используйте b* и g*u и посмотрите на результат прохождения b через фильтр, согласованный с собой.

(b) Если u⁰ и u¹ являются идеальными PN-последовательностями как в части (а), то покажите, что b₀ = u⁰ * g и b₁ = u¹ *g удовлетворяют .

Решение:

(a) Обратим внимание, что k-ый член u * u† равен:

(u ∗ u†)_k = = 2a²nδ_k.

Предположим, из контекста, что n - длина последовательности и будем считать, что, благодаря коэффициенту 2, это идеальная 4-QAM PN-последовательность. является центральным множителем u * u†, т.е. (u * u†)₀, из этого следует, что = 2a²n. Точно так же, является центральным множителем (b * b†)₀. Используя коммутативность и ассоциативность наложения получаем:

b ∗ b† = u ∗ g ∗ b† ∗ g†

= g ∗ u ∗ u† ∗ g†

= 2a²ng ∗ g†.

Наконец, так как является центральным множителем (g * g†)₀ имеем:

(b) Если u₀ и u₁ являются идеальными PN-последовательностями, как в пункте (а), то = = 2a²n. Используем часть (a) и получаем:

.

9.18

Это упражнение показывает разницу между получателем, который устанавливает аналоговый модулирующий сигнал и другим, который оценивает дискретную модель по времени модулированного канала. Будем считать, что каналы оценивается идеально в каждом случае и оценивает результирующую вероятность неправильного сигнала.

Мы делаем это нереалистично, использую 2-PAM модулятор отправляющий sinc(t) при H=0 и –sinc(t) при H=1. Будем считать, что канал дуплексный имеющий ответный импульс δ(t)-δ(t-ε) при 0 <у<<1. Полученная форма сигнала после демодуляции из полосы пропускания в модулирующий сигнал будет

V(t)=±[sinc(t)-sinc(t-ε)]+Z(t),

где Z(t) – генератор белого Гауссова шума со спектральной плотностью N₀/2. Для простоты будем считать, что фазовые углы демодулирующей несущей равен 0.

a) Опишите детектор критерия максимума правдоподобия для аналогового случая, когда канал точно известен в приемнике.

b) Найдите вероятность ошибки Pr(e) в значениях энергии низких частот принимаемого сигнала, E=||sinc(t) – sinc(t-ε)||².

c) Рассчитайте E, используя приближение sinc(t-ε)≈sinc(t)-ε sinc'(t). Подсказка: вспомните преобразование Фурье u'(t) ↔2πifȗ(f).

d) Далее рассмотрите дискретную по времени модель, где многолучевое распространение очень мало по сравнению с сигнальными интервалами, дискретный канал смодулирован с одиночным значением g. Приведенный вывод в точке 0 равен ±g[1-sinc(-ε)]+Z(0). Будем считать, что Z(t) были отфильтрованы к пропускной способности полосы W=1/2. Найдите вероятность ошибки, используя данный вывод как наблюдаемый элемент и считайте, что g известна.

e) Вероятность ошибки в случае (d) и в случаях (b) и (c) стремятся к ½ при ε→0. Сравните способы, которыми каждый результат стремиться к ½.

f) Попытайтесь объяснить, почему дискретное приближение уступает аналоговому здесь. Подсказка: Какой достигается эффект используя единичное приближение в сравнении с моделью канала низкого пропускания.

Решение:

a) Это эквивалентно проблеме диаметрально противоположной формам волн в белом Гауссовом шуме. Формы волн (после прохождения через канал) равны ±ʋ'(t) где ʋ'(t)=sinc(t)- sinc(t-ε). Критерий максимума правдоподобия выполняется при прохождении принятого сигнала V(t)= ±ʋ'(t)+Z(T) через фильтр соответствующий ʋ'(t) и осуществляет выборку, т.е. путем формирования ‹ʋ, ʋ'›= ∫ʋ(t) ʋ'(t)dt и принимая H=0, если внутренний продукт положителен и H=1 наоборот.

b) Вероятность ошибки обусловлена диаметрально противоположной форме волны в белом Гауссовом шуме

c) Используя подсказку, так что

Подставляя это в часть (b),

d) Дуплексное распространение ɛ, которое рассматривают как очень малое относительно сигнального интервала, так что дискретный канал моделируется единственным значением имеющим величину g=1-sinc(-ɛ). Входные данные ±1. Таким образом, действительная часть дискретно-временного наблюдения на приемнике равно ʋ=±[1-sinc(ɛ)]+Z(0) где Z(0)≈Ɲ(0,N₀/2). Это типичная проблема диаметрально противоположных сигналов в Гауссовом шуме. Таким образом

Если мы найдем предел 1-sinc(ɛ) для ɛ малого, зарисовав, мы видим, что функция равна 0 при ɛ=0 и квадратичная в ɛ. Аналитически, мы можем расширить sinc(ɛ) в энергетических сериях чтобы получить

Таким образом 1- sinc(ɛ)≈(πɛ)²/6, так что

e) Для малого δ, Q(δ) ≈1/2+ δ/sqrt(2π). Таким образом, в аналоговых технологиях Pr(e) приближается линейно к ½ в ɛ и в цифровых приближается квадратично к ½ в ɛ. Обе технологии показывают плохое затухание (с тех пор как затухание стало фактически плохим), но дискретная техника значительно хуже.

f) Проблема с дискретным подходом заключается в том, что когда два значения практически выходят из центрального значения, остальные значения могут быть более значимыми. Это не сложно увидеть, что другие значения больше линейны чем квадратичны в ɛ. Фактически, если бы мы попробовали за время ɛ/2, выходное единичное значение было бы точно 0 и все части u(t) были бы представлены в других значения. Другими словами, приближение, используя одиночное значение по отношению к приближению канала, когда время распространения мало, плохо работает при глубоком затухании. Дискретная модель времени, по сути, не ошибочная, но предположение, что значение за пределами дуплексного распространения могут быть проигнорированы – ошибочно.