п. 6. 2 Основная теорема алгебры

Теорема 4. Теорема Гаусса

Полином от комплексного, вообще говоря, переменного с комплексными, вообще говоря, коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный корень.

Следствие 1. Многочлен с, вообще говоря, комплексными коэффициентами от, вообще говоря, комплексного переменного имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней, пусть даже совпадающих.

Доказательство:

По теореме Гаусса существует, по крайней мере, один корень полинома . Пусть число – корень . Тогда по теореме Безу . Применим теорему Гаусса к многочлену и так далее. Получим . Покажем, что . Для этого перемножим скобки и сравним коэффициенты в левой и правой частях при . Получим требуемое. ■

Следствие 2. Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то также является корнем этого многочлена той же кратности.

Доказательство:

Для доказательства докажем лемму.

Лемма. Если – комплексные числа, то , .

Доказательство леммы:

Пусть , . Рассмотрим

Теперь,

. ▲

Перейдём к доказательству следствия. Рассмотрим . Пусть – корень уравнения. Тогда, используя лемму, получим . Так как – действительные, то , что означает, – корень уравнения .

Теперь покажем, что имеет ту же кратность, что и . Предположим обратное, т.е. имеет кратность , а кратность , . Пусть , тогда , где и не являются корнями . Рассмотрим . Заметим, что по теореме Виета, где , – действительные числа, причём . Тогда . Получим, что многочлен имеет корень , а, , по доказанному выше, корнем не является, противоречит условию. Таким образом, , т.е. и имеют одинаковую кратность. ■

Следствие 3. Если многочлен с действительными коэффициентами, причём , , то уравнение имеет, по крайней мере, один действительный корень.

Доказательство:

Так как комплексно сопряжённые корни имеют одинаковую кратность, а по следствию 1 многочлен имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней, то, по крайней мере, одному корню не «хватает» пары. Следовательно, он действителен. ■

Следствие 4. Любой многочлен можно представить в виде , где – действительные корни кратности , а не имеют действительных корней (доказать самостоятельно).

Следствие 5. Пусть – правильная рациональная дробь. Тогда если , то

Доказательство этого следствия проиллюстрируем на примере.

Пример. Разложим дробь на сумму элементов дробей.

Решение:

.

Для нахождения неизвестных коэффициентов , , приравняем числители: . Получим отсюда:

. Тогда: .

Пример. Разложить дробь на сумму элементарных дробей.

Решение:

Данная дробь является неправильной. Поэтому разделим числитель на знаменатель:

Таким образом, . Далее, . Получаем, что .

Для нахождения неопределённых коэффициентов , , воспользуемся методом частных значений (в качестве таковых удобно брать корни знаменателя):

. Отсюда . Тогда окончательно получим: .