Глава 1. Элементы векторной алгебры

§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков

Одним из основных понятий в математике является понятие числа. Оно возникло в глубокой древности в результате счёта и измерений и совершенствовалось. Числа бывают рациональные и иррациональные.

Рациональное – это число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел и . Известно, что рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Примерами иррациональных чисел являются

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел.

Числовая ось – это прямая, на которой выбраны: точка – начальная точка отсчёта, положительное направление (на рис. 1 оно указано ®), масштаб для измерения длины. На рис. 1 ось проведена горизонтально, положительное направление выбрано вправо.

Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Если число положительное, то его изображают точкой M для которой расстояние от начала равно а направление от точки до точки совпадает с положительным направлением оси; если число отрицательное, то его изображают точкой для которой расстояние от начала равно , а направление от точки до точки противоположно положительному направлению оси. Число называют координатой точки на оси пишут – координата точки пишут Числовую ось обозначают и называют координатной или осью координат.

Без обоснования: между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу отвечает определённая точка числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси отвечает определённое действительное число, которое изображается этой точкой. В дальнейшем вместо «точка с координатой » будем говорить «точка » и число будем писать рядом с точкой

Абсолютной величиной (модулем) числа называется число, обозначаемое | | и равное

| | =

Ясно, что абсолютная величина | | числа – это расстояние от точки до начала .

Определители второго и третьего порядков. Пусть даны четыре числа Определителем второго порядка называют число где левая часть формулы – обозначение определителя.

Пусть даны девять чисел Определителем третьего порядка называется число, определяемое формулой

Левая часть формулы – обозначение определителя третьего порядка. Числа называются элементами определителя. Будем обозначать их где – номер строки, – номер столбца, к которым принадлежит элемент.

Минором, соответствующим элементу определителя третьего порядка, называется число равное определителю второго порядка, получаемому вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент

Алгебраическим дополнением элемента определителя третьего порядка называют число, определяемое формулой . Это число равно , если чётно, и равно , если нечётно. Из этого определения следует, например,

.

Таким образом, формула определителя третьего порядка примет вид

Можно сделать вывод, что определитель третьего порядка есть сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Легко проверить, что сказанное справедливо для элементов любой строки (любого столбца) определителя, например,

§2. Декартовы координаты. Полярные координаты

Декартовы координаты. Пусть в пространстве заданы три взаимно перпендикулярные числовые оси и с общим началом O и общим масштабом. Будем говорить, что в пространстве введена система координат Oxyz, а указанные числовые оси называть осями координат. Пространство обозначается R₃. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными и обозначаются и .

Пусть М – произвольная точка пространства, , , – проекции точки М на оси и , т. е. это точки пересечения соответственно с осями и плоскостей, проведённых через точку М перпендикулярно к этим осям (рис. 2).

Пусть – координаты точек , , на соответствующих осях. Эти числа называются координатами точки М в пространстве При этом пишут , где – абсцисса, – ордината, – аппликата. Таким образом, каждой точке пространства отвечают три числа – координаты этой точки. Ясно, что и наоборот каждой тройке чисел в указанном пространстве отвечает определенная точка.

Оси координат и на плоскости образуют систему координат Пусть , – проекции точки на оси и (рис. 2). Они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки на оси и соответственно. Числа и являются координатами точки на плоскости. Этот факт записывают в виде Плоскость указанной системы координат обозначают . Описанные выше системы координат в пространстве и на плоскости называют прямоугольными декартовыми. Система координат, изображенная на рис. 2, называется правой.

Полярные координаты на плоскости. Возьмем на плоскости положительную полуось , т. е. ту часть оси, где неотрицателен. Пусть – произвольная точка плоскости и – расстояние от точки до начала – угол, образованный отрезком с осью , отсчитываемый от оси в направлении против хода часовой стрелки, причём (рис. 3). Числа и называются полярными координатами точки , причем – полярный радиус, – полярный угол, – полюс, положительная полуось – полярная ось.

Пусть – декартова система координат в рассматриваемой плоскости, – декартовы координаты точки А. Из рис. 3 видно, что . Эти формулы выражают декартовы координаты точки через её полярные координаты.

§3. Векторы, линейные операции над ними

Скалярной называется величина, которая полностью определяется своим численным значением. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объём, масса.

Вектором называется направленный отрезок прямой, соединяющий две точки в пространстве (рис. 4). Если А и В – начало и конец вектора, то он обозначается или .

Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается или АВ; или . Если начало вектора совпадает с концом, то вектор называется нулевым и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы и называют равными (в этом случае пишут ), если:

· равны их длины ();

· они коллинеарны;

· сонаправлены.

Следовательно, при параллельном переносе вектора получим вектор, равный исходному.

Сложение векторов. Даны векторы и . Вектор перенесём параллельно самому себе и поместим его начало в конец вектора . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , называется суммой векторов и и обозначается + . Ясно, что сумму двух векторов можно получить иначе: построить , с началом в общей точке, затем достроить на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Тогда его диагональ, выходящая из общего начала, будет суммой исходных векторов (см. рис. 5).

Указанный метод легко распространяется на случай трёх и большего числа векторов: от конца первого строим второй, от конца второго – третий и т. д., тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего, и будет суммой рассматриваемых векторов (рис. 6).

Свойства сложения векторов:

· + = + ;

· + ( + ) = ( + ) + ;

· + = .

Эти свойства проверяются с помощью построения.

Разность векторов. Даны векторы и . Построим эти векторы с началом в общей точке. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , называется разностью векторов , и обозначается (рис. 7). Из рисунка видно, что +( )= .

Умножение вектора на число. Даны вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор = = , который:

· коллинеарен ;

· имеет длину | | = | |×| |;

· направлен так же, как и , при , и противоположно – при

Свойства умножения вектора на число:

· ()× = × + × ;

· ×( + ) = × + × ;

· ( × )× = ×(m× )= ×( × ).

Эти свойства доказываются с помощью построения.

Приведем еще одно соотношение. Пусть даны вектор и – вектор, который коллинеарен , направлен, как , и | | = 1. Он называется единичным. Рассмотрим произведение | | вектора на длину вектора . По определению это есть вектор, который:

· коллинеарен вектору , следовательно, и ;

· имеет длину, равную длине вектора , так как | |×| | = | |;

· направлен, как и как , поскольку множитель | | – число положительное.

Таким образом, мы получили вектор, равный . Итак,

= | | (1)