Производная и дифференциал. Производная и дифференциал

ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Производная и дифференциал

Пусть функция определена на промежутке и .

Определение 1. Если существует предел , то он называется производной функции в точке и обозначается или .

Операция нахождения (вычисления) производной называется дифференцированием.

Итак

. (1)

Если обозначить , то называется приращением аргумента, - приращением функции.

Теперь (1) можно записать в виде

.

Пример 1.

.

Если существуют левый и правый пределы в точке , т.е. , ,

то их называют левой и правой производной в точке и обозначают и .

Ясно, что если существуют левая и правая производные в точке , причем , то и = . Однако, если они не равны, то производная не существует.

Пример 2. =

имеет и не существует.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке если она имеет в производную в этой точке.

Функция определенная на и дифференцируемая в каждой точке множества называется дифференцируемой на множестве .

Пусть дифференцируема в точке , тогда из формулы (1) ясно, что при .

Следовательно, в некоторой окрестности этой точки можно записать:

.

Тогда , или

,

или

. (2)

Теорема 1. Всякая дифференцируемая в точке функция, непрерывна в этой точке.

□ Из (2) следует что

.

и, по определению непрерывности, теорема доказана. ■

По теореме, из дифференцируемости следует непрерывность, но не наоборот. Например, непрерывна в точке , но производной не существует.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. существует предел . Тогда, как было показано, можно записать:

.

Здесь можно считать, что есть функция относительно .

Определение 3. Выражение , линейное относительно переменной , называется дифференциалом (первым дифференциалом) функции в точке и обозначается или :

, . (3)

Поскольку если , то производную часто обозначают следующим образом:

.

Формулу (3) можно записать или . Т.о. разность есть бесконечная малая более высокого порядка чем , т.е. дифференциал есть главная линейная часть приращения функции .

Т.к. при , имеет место приближенная формула , то . Эта формула используется в приближенных вычислениях.

Пример 3. Вычислить приближенно

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. .

На графике функции (рис.1) возьмем фиксированную точку и текущую точку

y

M(x,y)

A

)

α

φ

y=f(x,y)

O

x

Рис. 1.

Здесь = - угловой коэффициент секущей .

При точка и .

Тогда

.

Предельное положение секущей называется касательной прямой к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке. В этом состоит геометрический смысл производной. Запишем уравнение касательной, воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом:

.

Тогда уравнение касательной прямой будет иметь вид:

(4)

Замечание. Если непрерывна в точке и , то говорят, что имеет в точке бесконечную производную и пишут . В этом случае предельное положение секущей определяется уравнением . Т.е касательная параллельна оси .

Рассмотрим физический смысл производной. Пусть точка движется прямолинейно вдоль оси и - её координата в момент времени . Тогда её путь, пройденный за отрезок . Отношение есть средняя скорость точки за время с момента до момента . Тогда предел (если он существует)

называется мгновенной скоростью точки в момент времени и производная есть мгновенная скорость точки v(t) в момент времени .

4.2. Правила дифференцирования.

Теорема 2. ( Дифференцирование суммы, произведения и частного). Пусть функции и определены на промежутке X и дифференцируемы в точке . Тогда в этой точке дифференцируемы функции

; ; ; ()

и имеют место формулы:

;

;

;

.

□ Докажем последнюю формулу. (остальные самостоятельно). Пусть . Тогда

Перейдем к пределу, при . В силу непрерывности , а также в силу дифференцируемости: и Откуда следует доказываемая формула. ■

Замечание. Очевидно, что из определения 3 и теоремы 2 следуют аналогичные свойства для дифференциала:

; ; ).

Теорема 3. (Дифференцирование сложной функции) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в точке , а функция определена в точке и дифференцируема в точке, причем . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем справедлива формула:

или

□ В силу дифференцируемости функции в точке имеет место равенство (2):

. (5)

Т.к. дифференцируема в точке , то можно записать:

, (6)

где - бесконечно малая при .

Если (положить равной), то будет непрерывной в точке . Положим в (6) и . Тогда, в силу (5) и (6), имеем

.

При будет

.

Переходя к пределу при в силу непрерывности , при получим . ■

Пример 4. Найти производную функции .

Обозначим , , тогда и по формуле имеем .

Рассмотрим сложную функцию , для которой выполняются все условия теоремы о дифференцировании сложной функции. Тогда, с одной стороны, если - независимая переменная, то

.

Но с другой стороны, если ,то

.

Т.о., дифференциал функции имеет один и тот же вид независимо является ли u независимой переменной или функцией какой-либо другой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.

Теорема 4. ( Дифференцирование обратной функции) Пусть строго монотонна и непрерывная на промежутке функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем . (7)

□ По теореме о непрерывности обратной функции, непрерывна на промежутке . Поэтому при . Т.к. и , то по определению производной имеют место равенства:

. ■

Пусть на промежутке переменной заданы две функции

, , (8)

причем существует обратная функция на . Тогда следующая сложная функция , определенная на , называется параметрически заданной равенствами (8).

Пример 5. 1) - окружность;

2) - астроида.

Теорема 5. ( Дифференцирование параметрически заданной функции) Пусть строго монотонная и непрерывная на промежутке функция , дифференцируема в точке , причем , а функция определена на промежутке и дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , и справедливо равенство:

(). (9)

□ В силу теоремы 4 обратная функция дифференцируема в точке и , а по теореме 3 функция дифференцируема и производная равна:

. ■

Пример 6. Вычислить производную по x функции, заданной параметрическими уравнениями: ,