Метод ряда Вольтерра

При анализе нелинейных систем управления широко используются передаточные функции и их частный случай – комплексные коэффициенты передачи, чаще в виде частотных характеристик, для аналитического и численного исследования систем. Описание нелинейных систем на основе функциональных рядов Вольтерра приводит к многомерным передаточным функциям, изображениям т.н. ядер ряда Вольтерра.

Зачастую, ввиду сложности анализа системы с нелинейностью общего вида, он проводится тогда, когда нелинейность является существенной. Метод ряда Вольтерра позволяет исследовать системы с мягкими инерционными нелинейностями и может занять промежуток между методами анализа линейных систем и методами анализа нелинейных систем с существенными нелинейностями.

Докажем теорему о представлении нелинейной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением довольно общего вида, в виде последовательно-параллельного соединении линейных и нелинейной инерционной частей на основе аппарата рядов Вольтерра

Пусть имеется нелинейная система с одним входом и одним выходом, описываемая оператором:

y (t) = N { x (t)}, (1.20)

здесь: x (t) – входной сигнал системы;

y (t) – выходной сигнал системы;

N {} – нелинейный оператор.

Тогда, при довольно слабых требованиях, предъявляемых к виду оператора, выходной сигнал системы может быть представлен в виде:

, (1.21)

здесь q _k(τ₁, τ₂, …, τ_k) – ядро ряда Вольтерра k -й степени, k -мерная весовая функция. Как видно, ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки, широко используемого в теории линейных систем. В результате такого представления оператора, можно построить модель системы в виде параллельного соединения звеньев, соответствующих каждому из слагаемых ряда. Скорость сходимости определяет число звеньев, достаточных для моделирования системы с требуемой точностью. Ясно, что чем меньше абсолютная величина x (t), тем меньше членов потребуется.[10]

Если применить к каждому ядру преобразование Лапласа соответствующего порядка, то схема примет вид параллельного соединения звеньев с многомерными передаточными функциями:

Рисунок 20 - Модель нелинейной системы в виде параллельной структуры звеньев с многомерными передаточными функциями

W (s) – передаточная функция линейной части системы

Рассмотрим нелинейную систему, описываемую дифференциальным уравнением общего вида, моделирующим широкий класс систем и объектов:

L [ y (t)] + D (y, y ', y '', …, y ⁽ⁿ⁾) = x (t), (1.22)

где: x (t) – воздействие на систему;

y (t) – реакция системы;

L [ y (t)] – линейный оператор;

D (y, y ', y '',…, y ⁽ⁿ⁾) – нелинейная, гладкая, дифференцируемая функция. Предполагается, что D (.) не содержит линейные члены, они учтены в L [.].

Сформулируем и докажем теорему, позволяющую детализировать структуру системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.22).

Теорема. Ядра ряда Вольтерра системы, описываемой уравнением (1.22), можно представить в виде:

W ₁(s) = L ^-1(s) (1.23)

и

, (1.24)

где: L ^-1(s) = W (s) – оператор, обратный оператору L (s), передаточная функция линейной части системы.

Доказательство: В соответствии со схемой рис. 20 представим реакцию системы в виде:

y (t) = y ₁ + y ₂ + y ₃ +..., (1.25)

здесь:

y ₁ = y ₁(t) – реакция линейной части системы;

y ₂ = y ₂(t) – реакция нелинейного элемента второго порядка и т.д.

Разложим в кратный ряд Тейлора функцию D (y, y ', y '', …, y ⁽ⁿ⁾):

, (1.26)

где коэффициенты в суммах находятся дифференцированием D (.) по соответствующим аргументам.

Подставим компоненты решения (1.25) в (1.26), а результат в (1.22). Для определения первого ядра приравняем в полученном уравнении члены первого порядка:

L [ y ₁] = x (t). (1.27)

Отсюда

y ₁(t) = L ^-1[ x (t)], (1.28)

или, в операторной форме:

Y ₁(s) = L ^-1(s) X (s) = W (s) X (s). (1.29)

Поэтому, изображение первого ядра, т.е. передаточная функция линейной части системы, будет равно:

W ₁(s) = W (s) = L ^-1(s). (1.30)

Сгруппируем и приравняем в члены второго порядка:

. (1.31)

Поскольку Y ₁(s) = L ^-1(s) X (s), а по теореме о последовательном соединении нелинейной и линейной частей изображение результата действия линейного оператора на компоненту решения второго порядка имеет вид:

L [ y ₂] → L (s ₁ + s ₂) Y ₂(s ₁, s ₂), (1.32)

то

. (1.33)

Отсюда

Y ₂(s ₁, s ₂) = L ^-1(s ₁) L ^-1(s ₂) G ₂(s ₁, s ₂) L ^-1(s ₁ + s ₂) X (s ₁) X (s ₂), (1.34)

где

. (1.35)

Из (1.34) и (1.35) следует

W ₂(s ₁, s ₂) = L ^-1(s ₁) L ^-1(s ₂) G ₂(s ₁, s ₂) L ^-1(s ₁ + s ₂), (1.36)

или, в других обозначениях:

W ₂(s ₁, s ₂) = W ₁(s ₁) W ₁(s ₂) G ₂(s ₁, s ₂) W ₁(s ₁ + s ₂). (1.37)

Изображение G ₂(s ₁, s ₂) инерционно-нелинейной компоненты можно назвать ядрышком второго порядка.

Из (1.37) следует, что структурную схему ветви второго порядка системы, описываемой (1.22), можно представить в виде:

Рисунок 21 - Структура модели нелинейной компоненты второго порядка, порождаемой уравнением (1.22). Ядро дважды осуществляет линейное преобразование: до нелинейного и после него

Т.о. составляющая второго порядка выходного сигнала обязательно является результатом линейного преобразования выходного сигнала ядрышка G ₂(s ₁, s ₂).

Двумерная передаточная функция G ₂(s ₂, s ₁), совершающая нелинейное преобразование второго порядка, определяется частными производными второго порядка функции D (.) и операциями дифференцирования – см. (1.26) и (1.35). Далее доказательство проведем по индукции.

Пусть передаточная функция k -1 порядка для k > 2 имеет вид:

. (1.38)

Группируя и приравнивая члены k -го порядка, получим:

. (1.39)

В (1.39) берется сумма всех тех произведений компонент решения (6) и их производных, сумма нижних индексов которых равна r 1 + r 2 + … + rr = k.

Индексы r ₁, r ₂, …, r_r могут принимать значения от 1 до (k -1). Значения индексов j ₁, j ₂, …, j_r (степеней производных) меняются от 0 до n каждое. Поскольку по условию задачи разложение D (y, y ', y '', …, y ⁽ⁿ⁾) начинается с членов второго порядка (6), то в произведениях суммы уравнения (1.39) присутствуют лишь отклики y_i ^(j) с порядком, меньшим k (i < k).

Это значит, что k -я компонента решения y_k выражается из (1.39) только через младшие компоненты.

Сгруппируем компоненты k -й степени с учетом того, что изображения младших ядер отвечают (1.39):

(1.40)

Поскольку каждая передаточная функция вида W_rm (sr _{r r (m -1)+1}, sr _{r r (m -1)+2}, …, s_rm) содержит в соответствии с (1.38) в качестве сомножителя произведение и сумма индексов r 1 + r 2 + … + r (m -1) + rm +... + rr равна k, то каждое слагаемое суммы в (1.40) содержит произведения и которые могут быть вынесены за скобки. Поэтому

, (1.41)

где:

(1.42)

Наконец, из (1.42) видно, что

. (1.43)

Теорема доказана.

Рисунок 22 - Структура изображения ядра n -го порядка

Как видно на рис. 22, алгоритм преобразования сигнала компонентой схемы n -го порядка состоит в том, что вначале входной сигнал фильтруется линейной частью системы, затем следует нелинейное инерционное преобразование, продукты которого вновь фильтруются линейной частью. Нелинейное инерционное преобразование определяется (23) и состоит из комбинации безинерционных операций возведения в степень и перемножения сигналов, прогнозирующей операции дифференцирования и инерционной операции линейного преобразования сигнала, определяемой переходной функцией линейной части системы.Из доказанной теоремы следует, что схема рис. 20 может быть детализирована следующим образом:

Рисунок 23 - Детализация структуры системы, описываемой уравнением (1.22).

Выходной сигнал является результатом фильтрации линейной частью системы как входного сигнала, так и продуктов его нелинейного преобразования. На инерционную нелинейность входной сигнал системы поступает после предварительной его фильтрации линейной частью системы [11]