Задача №2

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ:

1. Движение грузового автомобиля описывается уравнением x= -270+12t. Опишите характер движения автомобиля. Найдите начальную координату, модуль и направление вектора скорости, координату и перемещение за 20 с, когда автомобиль пройдет через начало координат? Постройте график зависимости x(t) и v_x(t).

2. Движение двух велосипедистов описывается уравнениями x₁=12t и x₂=120-10t. Опишите характер движения каждого велосипедиста, найдите модуль и направление их скоростей, постройте графики движения, графики скорости и определите графически и аналитически время и место встречи этих велосипедистов.

3. На рисунке представлены графики движения двух тел. Напишите уравнения движения каждого тела, опишите характер движения. Какой смысл имеет точка пересечения графиков?

4. На рисунке представлены графики движения трех тел. Найдите начальные координаты тел, модуль и направление скорости движения, напишите уравнение зависимости x(t), найдите графически и аналитически время и место их встречи.

5. На рисунке изображены графики зависимости проекции скорости трех тел от времени. Напишите уравнения движения для каждого тела, если известно, что начальная координата первого тела равна -100 м, второго 50 м, а третье находилось в начале координат. Постройте графики движения этих тел.

6. Движение материальной точки описывается следующими уравнениями: x=2+3t, y= 1+4t, в которых координаты x и y, а также t заданы в единицах СИ. Найти скорость точки.

7. Уравнение движения тела дано в виде x=4 -3t. Определите начальную координату тела, скорость движения, перемещение тела за 2 секунды.

8. По заданным графикам напишите уравнения движений x(t). Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с, время и место встречи 2-го и 3-го тела.

9. По графику перемещения (а) построить график скорости и определить характер движения тела.

10. Уравнение движения тела имеет вид x=15t+0,4t². Определить начальную скорость тела и его скорость через 5 с.

11. Как двигался мотоциклист, график скорости движения которого изображен на рисунке?

12. Мотоциклист за первые 2 ч проехал 90 км, а следующие 3 ч двигался со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость мотоциклиста на всем пути?

13. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 20 м/с, а вторую половину со скоростью 30 м/с. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

14. Первую четверть пути поезд прошел со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 40 км/ч. С какой скоростью двигался поезд на оставшейся части пути?

15. Проекция скорости материальной точки изменяется в соответствии с уравнением v_x =10+2t. Определите: а) характер движения точки; б) модуль и направление начальной скорости; в) проекцию ускорения, ускорение и его направление; г) какой будет скорость точки через 5 с и 10 с от начала движения? Постройте графики зависимости v_x(t) и проекции ускорения от времени.

16. На рисунке изображен график зависимости проекции скорости движения материальной точки от времени. Определите: а) вид движения; б) модуль и направление начальной скорости; в) проекцию ускорения, модуль ускорения и направление вектора ускорения. Напишите уравнение зависимости проекции скорости этого тела от времени. Найдите графически и аналитически скорость тела через 2 с и 5 с от начала движения.

17. При движении некоторого тела проекция его скорости меняется так как показано на рисунке. Опишите характер движения этого тела в разные промежутки времени. Найдите модуль и направление векторов ускорения, напишите уравнение зависимости v_x(t) для этих промежутков времени и постройте график зависимости проекции ускорения от времени.

18. На рисунке приведен график зависимости проекции ускорения некоторого тела от времени. Считая проекцию начальной скорости равной 10 м/с, напишите уравнение зависимости v_x(t) и постойте ее график.

19. Шарик, скатываясь с наклонного желоба из состояния покоя, за первую секунду прошел 10 см. Какой путь он пройдет за 3 с?

20. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с², пройдет путь 100 м?

21. Трамвай, двигаясь равномерно со скоростью 15 м/с, начинает торможение. Чему равен тормозной путь трамвая, если он остановился через 10 с?

22. Скорость поезда, движущегося под уклон, возросла с 15 м/с до 19 м/с. Поезд прошел при этом путь 340 м. С каким ускорением двигался поезд и сколько времени продолжалось движение под уклон?

23. В конце уклона лыжник развил скорость 8 м/с. Найдите начальную скорость лыжника и ускорение, с которым он двигался, если длину уклона 100 м он прошел за 20 с?

24. Велосипедист, едущий со скоростью 18 км/ч, начинает спускаться с горы. Определите скорость велосипедиста через 6 с, если ускорение равно 0,8 м/с²?

25. Поезд через 20 с после начала движения приобретает скорость 90,6 м/с. Через сколько времени от начала движения скорость поезда станет равной 3 м/с?

26. По улице движется пешеход. На графике представлена зависимость проекции скорости пешехода от времени. Движение пешехода прямолинейное. На каком интервале времени проекция ускорения будет максимальной?

27. Два тела движутся в положительном направлении оси ОX, первое со скоростью 1 м/с, второе со скоростью 1,5 м/с, причем второе тело догоняет первое. Найдите проекцию на ось OX скорости первого тела относительно второго.

28. В момент времени t=0 два тела начинают движение из состояния покоя с постоянным ускорением. Ускорение первого тела в 2 раза больше ускорения второго тела. Найдите отношение скорости v₁ первого тела в момент времени t₁ к скорости v₂ второго тела в момент времени 2t₁.

29. Две материальные точки одновременно с нулевой начальной скоростью начинают движение из начала координат в положительном направлении оси OX. Ускорение первой точки в 2 раза меньше ускорения второй точки. Во сколько раз в один и тот же момент координата первой точки будет меньше координаты второй?

30. Два тела начинают равномерное движение вдоль прямой из одной точки в противоположных направлениях. Скорость первого тела равна v, скорость второго равна 2v. Найдите скорость второго тела относительно первого.

31. Камень свободно падает с высоты 80 м. Какова скорость камня в момент падения на землю? Сколько времени продолжалось свободное падение?

32. Тело свободно падает с некоторой высоты и у поверхности земли достигает скорости 100 м/с. С какой высоты падало тело? Сколько времени продолжалось его движение?

33. При свободном падении тело достигает поверхности земли через 5 с. Какова скорость тела в момент падения и с какой высоты оно падало, если начальная скорость тела равна нулю?

34. Вычислите первую космическую скорость для Земли, если ее сообщают телу на высоте, равной двум радиусам Земли от ее поверхности, если высота равна пяти радиусам Земли.

35. Точка движется по окружности радиусом 2м с угловой скоростью 3 рад/с. Определите линейную скорость точки.

36. Длина минутной стрелки башенных часов Московского университета равна 4.5 м. С какой линейной скоростью перемещается конец стрелки? Какова угловая скорость движения стрелки?

37. Две маленькие точки движутся по окружности с равными центростремительными ускорениями и разными радиусами окружностями R₁ и R₂. Как соотносятся их линейные скорости, если R₁=4R₂?

ДОСТАТОЧНЫЙ УРОВЕНЬ:

1. Радиолокатор ГАИ засек координаты машины x₁=60 м и у₂=100 м. Через 2 с координаты машины изменились: x₁=100 м и y₂=80 м. Превысил ли водитель автомашины допустимую скорость 60 км/ч?

2. Точка равномерно и прямолинейно движется вдоль оси OX, при этом проекция V_x скорости на OX равна -2 м/с. В начальный момент времени координата точки равна 3 м. Определите координату точки через 5 с после начала движения. Какой путь прошла точка за это время? Построить графики зависимости от времени координаты точки, проекции V_x и пройденного точкой пути.

3. Из двух точек А и В, расположенных на расстоянии 90 м друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение два тела. Тело, движущееся из точки А, имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки В, скорость 2 м/с. Через какое время первое тело нагонит второе? Какое перемещение совершить каждое тело? Задачу решить аналитически и графически.

4. Лифт в здании МГУ поднимается равномерно со скоростью 3 м/с. Начертите график перемещения. Определите по графику время, в течение которого лифт достигнет высоты 90 м (26-й этаж).

5. Уравнение движения точки имеет вид: x=2t. y=t. Найдите ее скорость через 2 с..

6. Автомобиль ¼ часть времени двигался со скоростью 8 м/с, а оставшеюся часть времени со скоростью 16 м/с. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

7. Поезд прошел путь 200 км. В течение 1 ч он двигался со скоростью 100 км/ч, затем сделал остановку на 30 мин. Оставшуюся часть пути он проходил со скоростью 40 км/ч. Найдите среднепутевую скорость поезда.

8. Первую половину пути мотоциклист проехал равномерно и прямолинейно со скоростью в 2 раза большей, чем вторую. Найти отношение средней скорости мотоциклиста к модулю скорости на второй половине пути, на которой он также двигался равномерно и прямолинейно.

9. Первую половину всего времени вертолет перемещался на север со скоростью 30 м/с, а вторую половину времени – на восток со скоростью 40 м/с. Вычислите разность между среднепутевой скоростью и модулем средневекторной скорости (средней скорости перемещения).

10. По реке плывет плот шириной 4 м. По плоту от одного его края до другого идет мальчик. Определите перемещение мальчика и плота в системе отсчета, связанной с плотом, и в системе отсчета, связанной с берегом. Чтобы перейти плот с одного края на другой, мальчику потребовалось 4 с. Скорость течения реки равно 1,5 м/с. Определите скорость плота и мальчика, а также пройденный путь в этих системах отсчета.

11. Скорость велосипедиста 10 м/с, а скорость встречного ветра 6 м/с. Определите скорость ветра относительно мальчика.

12. Летящий со скоростью 1000 км/ч самолет-истребитель выпускает ракету, имеющую скорость 1000 км/ч. Чему равна скорость ракеты относительно земли, если она запущена вперед? назад? в сторону?

13. Парашютист опускается вертикально вниз со скоростью 4 м/с в безветренную погоду. С какой скоростью он будет двигаться при горизонтальном ветре, скорость которого относительно земли равна 3 м/с?

14. Лодка плывет под парусом по ветру со скоростью 9 км/ч относительно воды. Ветер дует со скоростью 15 км/ч. Чему равна скорость ветра относительно лодки? В какую сторону вытягивается флажок, развевающийся на вершине мачты?

15. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, движущегося со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 72 км/ч, а длина 150 м?

16. По параллельным путям в одну сторону движутся два электропоезда: первый со скоростью 54 км/ч второй со скоростью 10 м/с. Сколько времени первый поезд будет обгонять второй. Если длина каждого из них 150 м?

17. Катер проходит некоторое расстояние вверх по реке за 10 ч, а вниз по течению за 6 ч. За сколько времени проплывает это расстояние плот?

18. Определить скорость встречного ветра, если след капли дождя на боковом стекле автомобиля, движущегося со скоростью 90 км/ч, расположен под углом 30° к горизонту. Вертикальная составляющая скорости капли равна 20 м/с.

19. На средней линии штрафной площадки футбольного поля, расположенной на расстоянии 20 м от линии ворот, находятся два игрока. Первый игрок посылает мяч вдоль поля в ворота, вратарь отбивает мяч под углом 30° к начальной траектории, и он долетает до второго игрока. Определите модуль перемещения и длину пути мяча.

20. Из пункта А выезжает велосипедист со скоростью 18 км/ч. Одновременно с ним из пункта В, находящегося на расстоянии 900 м от пункта А, выходит в том же направлении пешеход со скоростью 9 км/ч. Через какое время велосипедист догонит пешехода? Какое расстояние пройдет за это время пешеход?

21. Лодочник переправляет пассажира через реку, скорость течения которой 1 м/с. Ширина реки 100 м, скорость лодки относительно воды 2 м/с. Как лодочник должен направить лодку, чтобы путь лодки был минимальным? Сколько времени в этом случае длится переправа? Определите минимальное время переправы. Где в этом случае окажется лодка?

22. Капля воды на лобовом стекле автомобиля, движущаяся со скоростью 36 км/ч, поднимается со скоростью 2 м/с, угол наклона стекла 60°. Определите скорость капель относительно дороги.

23. Уравнение координаты материальной точки имеет вид x=15-3t+0,5t². а) опишите характер движения точки; б) найдите начальную координату, модуль и направление начальной скорости, модуль и направление вектора ускорения; в) напишите уравнение зависимости V_x (t) и постройте ее график; г) найдите графически и аналитически скорость точки через 2 с и 4 с после начала движения; д) найдите координату тела через 3 с после начала движения, какое перемещение совершило тело за это время; е) найдите перемещение и путь, пройденный телом за 6 с.

24. Уравнение координаты материальной точки имеет вид x=24+10t-t². а) опишите характер движения точки; б) найдите начальную координату; в) найдите проекцию начальной скорости, модуль и направление вектора начальной скорости; г) найдите проекцию ускорения, модуль и направление вектора ускорения; д) напишите уравнение зависимости проекции скорости и проекции ускорения от времени и постройте их графики; е) найдите скорость тела через 2 с и 4 с после начала движения; ж) найдите перемещение тела за 10 с; з) найдите путь, пройденный телом за 10 с; и) постройте график зависимости координаты от времени; к) постройте график зависимости пути от времени.

25. Скорость автомобиля за 10 с уменьшилась с 10 до 6 м/с. Напишите формулу зависимости скорости от времени, построить график этой зависимости и по графику определить скорость через 20 с.

26. Для материальной точки, движущейся по оси OX, зависимость координаты от времени выражается уравнением x=6-4t+t². Определить через 5 с после начала движения координату точки, ее скорость и пройденный путь.

27. На рисунке изображена зависимость проекции скорости тела на ось OX от времени. Постройте зависимости проекций ускорения, координаты тела от времени. В начальный момент времени x=0. Определите перемещение тела за 16 с.

28. Построить графики зависимости проекций на ось OX скорости и перемещения точки от времени, если точка начинает движение из состояния покоя, движется по оси OX в ее положительном направлении и дан график зависимости проекции ускорения точки на ось OX от времени.

29. Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело, пройдя некоторый путь, приобрело скорость 14 м/с. Чему была равна скорость тела, когда оно прошло половину этого пути?

30. Тело, двигаясь равноускоренно, за 5 с своего движения прошло путь S₅=100 м, а за 10 с - путь S₁₀=300 м. Определите начальную скорость движения тела.

31. Тело, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением, потеряло ²/₃ своей начальной скорости. Какой путь прошло тело и сколько времени оно двигалось?

32. По наклонной плоскости начали скользить с одинаковыми, направленными вниз ускорениями два тела: одно вверх с начальной скоростью 0,5 м/с, другое вниз из состояния покоя. Через какой промежуток времени тела встретятся? Расстояние между телами в начальный момент времени равно 2,5 м.

33. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты 80 м. Каково его перемещение в первую и последнюю секунду падения?

34. Тело падает с некоторой высоты и проходит последние 196 м пути за 4 с. С какой высоты и сколько времени падало это тело?

35. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения проходит половину пути. Определите время и высоту падения.

36. С некоторой высоты свободно падает тело. Через 2с с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела, удвоится?

37. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 24 м/с. На какую высоту он поднимается?

38. С балкона, находящегося на высоте 25 м от поверхности земли бросили вертикально вверх мячик со скоростью 20 м/с. Напишите уравнение зависимости координаты мяча от времени, выбрав за начало отсчета: а) точку бросания; б) поверхность земли. Через сколько времени мяч упадет на землю?

39. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло путь 63,7 м. С какой высоты падало тело?

40. Какой путь проходит свободно падающее тело за третью секунду движения?

41. Камень падает с высоты 5 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время падения и конечную скорость камня.

42. С крыши дома падает сосулька. Определите высоту дома, если сосулька пролетела вдоль входной двери высотой 2 м за 0,13 с. Размерами сосульки можно пренебречь.

43. Скорость материальной точки за 0,5 с после начала движения по окружности возросла до 4 м/с. Определите полное ускорение точки в этот момент, если радиус окружности 1 м.

44. Определите скорость и ускорение точек земной поверхности вследствие суточного вращения Земли, находящихся на 60° северной широты. Радиус земли 6400 км.

ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ:

1. Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью 20 м/с. Через 10 минут по тому же направлению вышел экспресс, скорость которого 30 м/с. На каком расстоянии (в км) от станции экспресс нагонит товарный поезд?

2. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 с. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна 29,9 с. Определите скорость погружения лодки. Скорость звука в воде 1500 м/с.

3. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение одном минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается за 3 минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся вверх эскалатору?

4. Согласно закону Хаббла скорость образовавшихся при взрыве галактик пропорциональна расстоянию r от места взрыва: v=kr, где k=const. Докажите, что относительная скорость галактик не зависит от расстояния r, а определяется расстоянием между галактиками, что тем самым делает невозможным определения места взрыва.

5. На рисунке показан график зависимости координаты тела от времени. Запишите уравнение движения тела x(t) и уравнение проекции его скорости v_x(t).

6. Катер двигаясь по течению реки равномерно и прямолинейно, обогнал плот в точке А. Через 2 ч после этого он повернул назад и двигаясь равномерно и прямолинейно с той же скоростью относительно воды, встретил плот на расстоянии 9 км от точки А. Найти скорость течения реки.

7. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через 5 с после начала движения достиг скорости 36 км/ч. Какой путь прошел автомобиль за третью секунду движения?

8. Точка движется в плоскости XOY вдоль оси OX с постоянной скоростью Vx=0,5 м/с, при этом уравнение траектории точки имеет вид y(x)=4x+16x². Определите зависимость координаты y и проекции скорости Vy от времени. Считайте, что при t=0 точка находилась в начале координат.

9. С двух разных высот над поверхностью земли, 5 м и 10 м, одновременно вниз бросают два мячика. Определите, с какой скоростью брошен второй мяч, если известно, что оба мяча упали на землю одновременно. Начальная скорость первого мяча равнялась нулю.

10. Две капли падают из крана через промежуток времени 0,2 с. Пренебрегая силой сопротивления воздуха, определите, через сколько секунд расстояние между каплями станет равным 40 см.

11. Тело брошено вертикально вверх, за первую секунду прошло ¹/₃ максимальной высоты подъема. Какой путь пройдет тело за последнюю секунду падения?

12. Под каким углом к горизонту брошено тело, если проекция вектора начальной скорости на ось OX равна 10 м/с, а на ось OY равна 17 м/с? Какая начальная скорость тела?

13. Тело брошено горизонтально со скоростью 30 м/с. Найдите проекции вектора скорости на оси OX и OY.

14. Из старинной пушки, ствол которой установлен под углом 45° к горизонту выпущено ядро со скоростью 141 м/с. а) найдите проекции скорости на горизонтальное и вертикальное направление; б) вычислите, через сколько времени тело упадет на землю; в) вычислите дальность полета снаряда.

15. Снаряд вылетел из дальнобойной пушки с начальной скоростью 1000 м/с под углом 30° к горизонту. Сколько времени снаряд будет находиться в воздухе? На каком расстоянии от пушки он упадет на землю? Пушка и точка падения находятся на одной горизонтали. Какую скорость будет иметь снаряд в момент падения на землю?

16. Теннисист при подаче запускает мяч с высоты 2 м над землей. На каком расстоянии от подающего мяч ударится о землю, если начальная скорость равна 20 м/с и направлена вверх под углом 30° к горизонтали?

17. Мяч бросают с крыши, находящейся на высоте 20 м от поверхности земли. Его начальная скорость равна 25 м/с и направлена: а) горизонтально; б) вверх под углом 30° к горизонту; в) вниз под углом 30° к горизонту. Чему равна дальность полета по горизонтали?

18. Тело брошено под углом 60° к вертикали относительно поверхности земли со скоростью 10 м/с. силой сопротивления воздуха можно пренебречь. а) определите проекции скорости тела на оси OX и OY в точке бросания А; б) определите полную скорость тела в точке С, если известно, что тело оказалось в этой точек через 0,8 полного времени движения.

19. Кошка прыгает с подоконника высотой 1,2 м горизонтально со скоростью 6 м/с. На каком расстоянии от стены она окажется в момент приземления?

20. Камень бросают с поверхности земли со скоростью V₀ под углом α к горизонту. Определите дальность полета и максимальную высоту подъема камня.

21. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении, равна половине высоты, с которой оно брошено. Чему равен тангенс угла, который образует с горизонтом скорость тела при его падении на землю?

22. На горе с углом наклона к горизонту 30° горизонтально бросают мяч с начальной скоростью 15 м/с? На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости упадет мяч?

23. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально со скоростью 1440 км/ч на высоте 20 км. Когда самолет пролетает над зенитной установкой, из орудия производится выстрел. Какова должна быть минимальная скорость снаряда V₀ и угол ствола зенитного орудия к горизонту α, чтобы снаряд попал в самолет?

24. Мотоциклист въезжает на высокий берег рва. Какую минимальную скорость должен иметь мотоциклист в момент отрыва, чтобы перескочить ров?

25. Найти радиус вращающего колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

26. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 минуту от значения, соответствующего частоте 300 об/мин, до значения, соответствующего частоте 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

27. На катушку, поставленную на стол вертикально, намотаны две нити. Определите угловую скорость вращения катушки и скорость ее центра О, если нити разматывают со скоростями, равными V₁ и V₂, при этом V₁=2V_2. Радиус катушки равен R.

28. Два трактора вытягивают застрявшую машину с помощью нерастяжимых канатов. Угол между канатами равен α, а скорости тракторов равны соответственно V₁ и V₂. Определите модуль и направление скорости машины V.

Приложение 1