Означення чотириполюсника

Чотириполюсником називається розгалужена ділянка кола, яка з’єднується з рештою кола чотирма затискачами (полюсами). На рис. 14.8.1 зображено умовну схему найбільш часто вживаного на практиці парного чотириполюсника. В парному чотириполюснику розрізняють пару вхідних та пару вихідних полюсів. Струми на його вхідних полюсах однакові й протилежні; те саме стосується струмів на вихідних полюсах.

Чотириполюсники займають широкий клас електромагнітних, радіотехнічних вузлів та приладів. В загальному випадку чотириполюсник – це ділянка кола, яка з’єднує джерело електричної енергії з навантаженням, рис. 14.8.1. До чотириполюсників належать коаксіальні кабелі, двопровідні лінії, мостові схеми, трансформатори, подільники напруги, електричні фільтри, підсилювачі електричних сигналів тощо.

Чотириполюсник вважається пасивним, якщо в ньому відсутні джерела енергії і, навпаки, активним, якщо хоч одне джерело входить у його схему. Наприклад, трансформатор – це пасивний чотириполюсник, тоді як електронний підсилювач відноситься до активних чотириполюсників, оскільки він збільшує потужність електричного сигналу. Як і в попередніх означеннях, чотириполюсник вважається лінійним, якщо в його схему входять лише лінійні елементи. При наявності хоча б одного нелінійного елемента чотириполюсник стає нелінійним. Далі розглядатиметься пасивні лінійні чотириполюсники.

Зображення чотириполюсників

Присутність у чотириполюснику двох контурів – вхідного та вихідного дозволяє пов’язати

чотири параметри: вхідні U 1,

I 1 та вихідні U 2,

I 2 лише двома рівняннями Кірхгофа для контурів.

Два параметри можна вибрати в якості аргументів, а два інших є функціями цих аргументів. У лінійному чотириполюснику функціональні залежності між цими величинами описуються лінійними рівняннями.

Вибравши в якості аргументів вихідні напругу та струм, отримаємо систему рівнянь, яка описує

чотириполюсник в А-зображенні

Коефіцієнти

Aij

U 1 = A 11 U 2 + A 12 I 2;

I 1 = A 21 U 2 + A 22 I 2.

в загальному випадку є комплексними числами і утворюють матрицю

(14.8.1)

A = A 11

A 21

А 12

A 22

. (14.8.2)

Компоненти матриці визначають, виходячи з конкретної схеми чотириполюсника. З чотирьох елементів матриці незалежними виявляються лише три, оскільки між ними існує додатковий зв’язок

A 11 A 22 − A 21 A 12 = 1. (14.8.3)

А- зображення використовується для теоретичних розрахунків.

Рис. 14.8.1. Зображення парного чотириполюсника.

Якщо розв’язати систему рівнянь (14.8.1) відносно напруг, то отримаємо Z-зображення

чотириполюсника

U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2,

(14.8.4)

U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I.

Елементи

Z ij

мають розмірність опору й між ними існує додатковий зв’язок

Z 21 = − Z 12. (14.8.5)

Наступне, Y- зображення чотириполюсника має вигляд

I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2; (14.8.6)

I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2

з додатковою умовою

Y 21 = − Y 12. (14.8.7)

Елементи

Yij

мають розмірність провідності. Це зображення використовується для аналізу схем на

вакуумних радіолампах.

Для аналізу схем на транзисторах використовується Н-зображення, яке має вигляд

U 1 = H 11 I 1 + H 12 U 2; (14.8.8)

I 2 = H 21 I 1 + H 22 U 2

з додатковою умовою

H 12 = H 21. (14.8.9)

Рис. 14.8.2. Визначення вхідного опору чотириполюсника.

Вхідний та вихідний опір чотириполюсника

Вхідний опір чотириполюсника

Zвх

– це вхідний опір еквівалентного двополюсника, який

складається із власне чотириполюсника та опору навантаження

Z н, під'єднаного до його виходу

рис. 4.8.2. Для визначення чотириполюсника. Маємо

Zвх

досить поміряти чи обчислити опір між вхідними полюсами

Z вх

= U 1. (14.8.10)

I 1

Використавши А- зображення, отримуємо

Z = A 11 Z н + A 12

, (14.8.11)

Вх

A Z +

21 н

A 22

де опір навантаження

Zн = U 2 I 2.

Визначення вихідного опору чотириполюсника дещо складніше, адже зі сторони вихідних полюсів ми маємо активний двополюсник, який складається, власне, з чотириполюсника, до входу

якого приєднано реальний генератор напруги, рис. 14.8.3. Тому вихідний опір чотириполюсника

Zвих

визначається як внутрішній опір еквівалентного генератора ЕРС, який заміщає чотириполюсник

із приєднаним до його входу джерелом енергії. Внутрішній опір еквівалентного генератора отримаємо, замінивши реальний генератор ЕРС резистором, опір якого дорівнює внутрішньому опорові джерела енергії, та, помірявши омметром, чи, обчисливши опір на вихідних затискачах еквівалентного двополюсника (див. п. 14.6). Для обчислення опору розглядається обернений

чотириполюсник, який отримаємо, помінявши функцію вхідних полюсів на вихідні і, навпаки.

Рис. 14.8.3. Визначення вихідного опору чотириполюсника.

Виразивши вихідний опір в А- зображенні, отримаємо

Z = A 22 Z i + A 12. (14.8.12)

вих +

A 21 Z i

A 11

Для оберненого чотириполюсника параметр

Zвих

зображається у формулі (14.8.12) матрицею,

транспонованою до матриці в (14.8.11). Також очевидною є заміна Z н

на Z i

в (14.8.12).

Чотириполюсник як пристрій узгодження

Відомо, що на навантаженні виділяється максимальна потужність, якщо опір навантаження дорівнює внутрішньому опорові джерела енергії. Якщо ця умова не виконується, то вихідна потужність буде тим меншою, чим сильніше відрізняються значення цих опорів. В таких випадках з метою підвищення ефективності передачі електричної потужності використовується узгоджувальний пасивний чотириполюсник, який вмикають між генератором та навантаженням, рис. 14.8.1. Параметри узгоджувального чотириполюсника добирають, виходячи з умови виділення максимальної потужності на навантаженні. Для відбирання від генератора максимальної потужності необхідно,

щоби внутрішній опір генератора ЕРС дорівнював вхідному опорові чотириполюсника, який є навантаженням для генератора, тобто

Zвх = Z i. (14.8.13)

Проте нас цікавить дещо інша умова – необхідно, щоб якраз на навантаженні

найбільша потужність, тобто має виконуватись також умова

Zн виділялася

Zвих = Zн. (14.8.14)

Одночасне виконання цих двох умов забезпечує так званий характеристичний режим або режим

узгодження генератора з навантаженням. В режимі узгодження на опорі навантаження виділяється максимально можлива потужність.

Використавши ці дві умови, можна виразити

Zвх

та Zвих

в режимі узгодження з (14.8.11) та

(14.8.12) через коефіцієнти

Aij

Z = ρ

= A 22 A 12; Z = ρ

= A 11 A 12.

(14.8.15)

н 11

A 21

A 11

і 22

A 21

A 22

Тут ρ 11

та ρ 22 – характеристичні опори, яким дорівнюють вхідний та вихідний опори, відповідно,

в режимі узгодження.

Передавальні функції чотириполюсника

На відміну від вхідного та вихідного опорів, які пов’язують між собою лише вхідні або лише вихідні електричні параметри, передавальні функції описують здатність чотириполюсника передавати із входу на вихід схеми напругу, струм чи потужність електричного сигналу, тобто вони пов’язують між собою вхідні та вихідні параметри чотириполюсника.

Коефіцієнт передачі за напругою – це відношення комплексного зображення вихідної напруги

до вхідної

U

K = U 2. (14.8.16)

U 1

Якщо U 1 = U 1exp[ j (ω t + ϕ1)], а U 2 = U 2 exp[ j (ω t + ϕ2)], то з (14.8.16) випливає

KU = KU exp(j ϕ U), (14.8.17)

де

KU = K U

= U 2

U 1

(14.8.18)

визначає модуль коефіцієнта передачі за напругою, а вираз

ϕ U = ϕ2 − ϕ1

(14.8.19)

визначає зсув фази вихідної напруги відносно вхідної. В електронних підсилювачах параметр KU

називається коефіцієнтом підсилення за напругою.

Якщо у колі присутні реактивні елементи, то модуль коефіцієнта передачі та зсув фаз залежать

від частоти. Залежність

KU (ω)

називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а

залежність

ϕ U (ω), – фазово-частотною характеристикою (ФЧХ), часто просто фазовою

характеристикою.

Подібний параметр використовується і для характеристики передачі струму – коефіцієнт передачі струму

I

I 2

Ki =

= Ki exp(j ϕ i), (14.8.20)

де Ki = I 2 I 1, а ϕ i визначає зсув фаз вихідного струму відносно вхідного.

Еквівалентний чотириполюсник

Властивості пасивного чотириполюсника визначаються елементами матриці будь-якого його зображення. Між цими елементами для кожного зображення існує додатковий зв’язок (14.8.3), (14.8.5), (14.8.7.) та (14.8.9), тому незалежними виявляються лише три елементи. Таким чином, схема еквівалентного чотириполюсника може складатися максимум із трьох елементів, які, у свою чергу, можуть бути еквівалентними двополюсниками, тобто складатися з декількох елементів кожний.

Існує два типи схем еквівалентного чотириполюсника: Т-подібна схема або з'єднання елементів

"зіркою", рис. 14.8.2. а, та П-подібна схема або з'єднання "трикутником", рис. 14.8.2. б. Назви зрозумілі з вигляду схем.

Рис. 14.8.4. Еквівалентний чотириполюсник: а) Т-подібна схема; б) П-подібна схема.

Для знаходження елементів матриці чотириполюсника як функцій еквівалентних

двополюсників

Z 1, Z 2, Z 3

викорстовується А- зображення, оскільки коефіцієнти

Aij

легко

знаходяться з аналізу режимів холостого ходу (хх2) та короткого замикання (кз2) на виході. З (14.8.1)

маємо

A 11 = U 1 U 2

за умови

I 2 = 0, тобто для холостого режиму на виході. Отже, незалежно від

конкретної схеми чотириполюсника, маємо

⎛ U ⎞

⎛ U ⎞

⎛ І ⎞

⎛ І ⎞

A = ⎜ 1 ⎟

; A = ⎜ 1 ⎟

; A = ⎜ 1 ⎟

; A = ⎜ 1 ⎟

. (14.8.21)

⎝ U

11

U

⎝ 2 ⎠ ХХ 2

12 ⎝ I

⎠КЗ 2

2 ⎠

ХХ 2

22 ⎝ І

2 ⎠ КЗ 2

Для Т-подібної схеми отримуємо такі вирази для коефіцієнтів А- матриці:

A

T

A

T

Для П-подібної схеми

Z T

Z

T

A

=1 + 1;

Z T

Z

= + 2.

T

Z T Z T + Z T Z T + Z T Z T

Z

T

T = 1 2 1 3 2 3; (14.8.22)