Оцінка точностi роботи дискретних систем у сталих режимах

Для визначення точності дискретних САУ у сталих режимах використовують величину сталих похибок при рiзноманiтних типових впливах.

Хай задано замкнену ДСАУ з перериванням сигналу похибки (Рис.2.94).

Рис. 2.94 Структурна схема дискретної системи

У замкненій дискретній системі з одиничним зворотним зв'язком похибка системи , задаючий вплив та збуджуючий вплив v зв'язанi вiдповiдним рiвнянням вiдносно -зображень

де

При цьому

Здобутий вираз має -зображення двох складових похибки, перша із яких обумовлена задаючим впливом , а друга – збуджуючим впливом .

Стала похибка дискретної системи може бути обчислена за теоремою про кінцеве значення дискретної функції

(2.171)

Якщо на вхід системи подається ступінчата функція зображення якої

а збуджуючий вплив дорівнює нулю, то стала похибка визначається за спiввiдношенням

i називається похибкою системи по положенню.

Якщо вхідний вплив , то , а стала похибка визначається за допомогою спiввiдношення

(2.172)

i називається похибкою системи за швидкістю.

Якщо вхідний сигнал змінюється з постійним прискоренням, тобто , зображення якого дорівнює

(2.173)

то стала похибка називається похибкою за прискоренням

(2.174)

Дискретні системи можуть класифікуватися у вiдповiдностi з числом полюсів виразу при . Якщо передаточна функція розімкненої системи

(2.175)

а не отримує полюсів , то при система буде статичною, при астатичною першого порядку тощо.

Таким чином, для того щоб дискретна система мала нульову сталу похибку по задаючому впливу, необхідно, щоб порядок астатизму системи перевищував степінь поліному вхідного впливу.

Розклавши передаточну функцію за сигналом похибки для задаючого впливу у ряд по степеням , здобудемо

(2.176)

Коефiцiєнти ряду , , ,... називаються вiдповiдно коефiцiєнтами за положенням, за швидкістю, за прискоренням. При цьому , а визначає повну сталу похибку, яка визначається кількістю різностей у вхідному сигналі.

При цьому

(2.177)

За аналогом з неперервними системами можна ввести поняття добротності за положенням, за швидкістю, за прискоренням

При використанні білінійного перетворення для малих значень періоду квантування

можна визначити коефiцiєнти похибки при розкладі передаточної функції у ряд по степеням . Таким чином, при малих справедливо рівняння

, де

При цьом що відкриває можливість для знаходження коефiцiєнтiв похибки по логарифмічним характеристикам, які побудовані у залежності від псевдочастоти .

Вимушена складова перехідної послідовності має вигляд

Якщо представити у вигляді розкладення Тейлору

де то

,де

є також коефiцiєнтами похибки.

Якщо на вхiд дискретної САУ поступає моногармонiчний вплив , дискретна функцiя якого має вигляд , то на виходi системи з'являється послiдовнiсть

Якщо частота вхiдного впливу дорiвнює частотi квантування, то очевидно, що дискретна функцiя вимушеної складової вихідної величини буде сталою та залежати вiд та .

Аналогiчний висновок буде i для визначення вимушеної похибки

При цьому

Якщо , то

Рис. 2.95 Степінь стійкості у S та Z площинах

2.5.14 Дослiдження швидкодiї та коливальностi дискретних систем управлiння

Швидкодiя та коливальність дискретних САУ залежить вiд швидкостi згасання та коливальностi вiльних складових yві перехiдних послідовностей, якi в свою чергу залежать вiд характеристик вагової послідовності.

Представимо ) таким чином

де та S_i коренi характеристичного рiвняння дискретної системи у площинах змiнних Z та S вiдповiдно, а h₀>0 є деякою дiйсною сталою, яка визначається як

тобто є степенем стiйкостi.

Очевидно, що степiнь стiйкостi h₀ може бути знайдено за умови находження системи на межi стiйкостi по зміщеної iмпульсної передаточної функцiї W*(jw,h₀), тобто

Але у площинi Z пряма h₀ площини S буде вiдображатися як коло радiусу h₀^*, де h₀*=1-h*, тобто у якостi мiри швидкодiї може використатися вiдстань h₀* вiд найближчого полюсу z_i до кола радiусу R=1. Якщо всi коренi z_i нульовi, то перехiдний процес буде скiнчуватися за кiнцеве число тактiв.

Дiйсно, у випадку, якщо W(z) має вигляд

(2.178)

розклад у ряд Лорана по степеням

що дає вагову послiдовнiсть, яка має кiнцеве значення вагових коефiцiєнтiв

а це позначає, що вiльна складова перехiдного процесу закiнчується за n тактiв.

Степiнь стiйкостi для подiбних систем дорiвнює нескiнченностi, тому що

тобто нульовому коренi у Z площинi вiдповiдає нескiнченно вiддалений корінь у S площинi.

Коливальнiсть дискретних САУ, як свiдчить вираз

залежить вiд того, чи є корінь , який віддалено вiд дiйсної пiвосi площини Z.

Як i для неперервних систем, оцiнка степенi коливальностi може бути визначена по вiдношенню

Очевидно, що максимальне перерегулювання у системi залежить вiд та при однiй парi комплексних коренiв має вигляд

де С залежить вiд початкових умов.

П 2.36

Дослідити умови стійкості та вплив структури системи керування на стійкість

Дискретна система 1-го порядку

Передаточна функція неперервної частини . Імпульсний елемент - ФНП

Період квантування , , . Вхідний вплив ,

Передаточна функція неперервної частини

Порядок розрахунку

Визначення передаточної функції розімкнутої системи у формі

1. Передаточна функція ФНП

Визначається часова характеристика

2.

3.

4.

Визначається передаточна функція замкнутої системи

5.

Визначається характеристичне рівняння та його корені

6.

7.

8. Будується перехідний процес

9. Перевіряється стійкість по критерію Михайлова

Система стійка

Дискретна система 2-го порядку (астатична)

Розрахунок виконується за попередньою схемою

Передаточна функція неперервної частини

,

Система стійка

Дискретна система 3-го порядку (Астатизм 2-го порядку)

Передаточна функція неперервної частини

Траєкторія коренів

. Положення коренів при

Траєкторія коренів

Початкове значення ,

Кінцеве значення ,

Кількість кроків

2.5.15 Співвідношення між S- та Z- площинами

Відомо, що Z-перетворення на відображенні на z-площині змінної . Якщо розглядати основну смугу у межах , то контур 1-2-3-4-5-6 на s-площині (Рис.2.96) відображається у одиничне коло z-площини з центром у початку координат.

При цьому можна зробити такі виснавки.

Рис.2.96 Відображення основної полоси у одиничне коло

Лінія постійного згасання: на S-площині це пряма лінія на відстані від мінливої осі; на Z-площині це коло радіусу (Рис.2.97).

Рис 2.97 Лінія постійного згасання

Лінія постійної частоти: на S-площині це пряма лінія на відстані від дійсної осі; на Z-площині це лінія, яка виходить з початку координат під кутом (Рис.2.98)

Рис. 2.98 Лінія постійної частоти

Лінія постійного коефіцієнту згасання: на S-площині це пряма лінія , яка виходить з початку координат під кутом від мінливої осі у додатному напрямку; на Z-площині це логарифмічна спіраль, яка описується рівнянням (Рис. 2.99)

Рис.2.99 Лінія постійного коефіцієнта згасання

Рис.2.100 Вплив коефіцієнта згасання

.

Рис. 2.101 Визначення заданого коефіцієнта підсилювання

Якщо нанести на ці графіки рух коренів при зміні якогось параметру системи (наприклад коефіцієнта передачі),то по точці перетину з лінією згасання можна визначити відповідний коефіцієнт, який буде забезпечувати необхідне згасання.

П 2.37

Для дискретної системи з фіксатором нульового порядку побудувати рух коренів та лінію постійного коефіцієнта згасання .

Рис.2.102 Перехідний процес

Рис 2.103 Корневий годограф та визначення заданого коефіцієнта передачи