Достатні та необхідні умови стійкості неперервних систем керування

Загальний розв'язок не залежить від зовнішніх збуджень , а визначається лише властивостями самої системи та початковими умовами. Тому він характеризує власний рух або перехідний процес системи.

Тому що то після зняття зовнішнього впливу , для стійких систем повинен наближатися до нуля, а це можливо, якщо

(2.79)

Отже, для стійкості системи повинна виконуватись умова

(2.80)

Тому що , де – корені характеристичного рівняння, то для стійкості системи корені повинні мати від'ємні дійсні частини: . Ця умова визначається як достатня умова стійкості системи.

Якщо система стійка, тобто виконуються достатні умови то характеристичне рівняння може бути визначене за допомогою теореми Вієта

(2.81)

Тому що від'ємні, то (2.81) перетворюється на .

Якщо розкрити дужки і зібрати коефіцієнти при однакових степенях , тобто, звести рівняння (2.81) до загального вигляду

то всі коефіцієнти будуть більше нуля

(2.82)

Отже, стійкій системі відповідає диференційне рівняння, коефіцієнти якого при всіх будуть більше нуля.

Ці умови є необхідними умовами. Слід пам'ятати, що зворотне твердження хибне, тобто якщо всі коефіцієнти характеристичного рівняння більше нуля, то з цього не слідує, що система стійка. Якщо всі корені характеристичного рівняння будуть мати від'ємні дійсні частини, то їх зображення на комплексній площині будуть знаходитись зліва від уявної осі, тобто у лівій півплощині, а уявна вісь є межею області стійкості.

Рис. 2.25 Область стійкості, межа стійкості та розташування коренів

При зміні від до зображуюча точка, яка відповідає , буде рухатися знизу, а лінія межі області стійкості штрихується зліва.

Якщо який-небудь корінь буде більшим від нуля, тобто знаходитиметься у правій півплощині, то відповідна частина вільного руху з часом буде зростати, а система буде нестійкою