Теорема (о сходимости метода координатного спуска)

Пусть функция выпуклая и имеет непрерывную производную, тогда последовательность точек , полученные по формулам (2) – (7), сходится к точке минимума.

Замечание. Формулы (2)-(7) не требовали гладкости функции . Однако в теореме это условие есть. Можно показать, что если функция не гладкая, то метод может не сходиться к точке минимума.

Типичные производственные функции с несколькими ресурсами: линейная ПФ, степенная ПФ, ПФ с постоянными пропорциями. Коэффициенты эффективности использования ресурсов для этих типов функций

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рас­сматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы X₁,…, X _п, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Y₁,…Y_m. Y=f(X);

ПФ применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант П. ф.) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант Пф.) на различных уровнях экономики - от фирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом (агрегированная ПФ, в которой выпуском служит показатель совокупного общественного продукта или национального дохода и т. п.).

С точки зрения ресурсов различают ПФ с взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми ресурсами. Взаимозаменяемость предполагает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях объемов ресурсов.

Изокванты – линии уровня производственной функции, множество тех точек для которых выпуск постоянен при разных затратах ресурсов.

Изоклинали- линии наибольшего роста ПФ, они ортогональны изоквантам.

Показатели:

а) Средняя эффективность – показывает отдачу от каждой единицы i -го ресурса;

б) Предельная эффективность – показывает предельный прирост выпуска продукции при увеличении затрат i -го ресурса на малую величину. – только для взаимозаменяемых ресурсов;

в) Эластичность выпуска – отражает отношение относительного прироста продукции к относительному приросту i -го ресурса;

г) Предельная норма замещения ресурсов – показывает, какое количество i -го ресурса может быть высвобождено из производства при увеличении затрат j -го ресурса на 1, при неизменном выпуске;
д) Коэффициент эластичности замещения ресурсов	– показывает, на сколько % должно измениться отношение объемных затрат ресурсов i и j, чтобы при этом норма замещения изменилась на 1%.

1. Линейная производственная функция:

	Предельная эффективность постоянна, т.е. от каждой новой ед. ресурса выпуск возрастает на ед. Ресурсы полностью взаимозаменяемые с постоянной нормой замены. Изобразим на графике поведение функции. На уровне x 2 прирост x 1 будет давать один и тот же прирост производства, т.е.

2. Степенная производственная функция:

При фиксированном выпуске продукции предельная эффективность i -го ресурса падает с ростом затрат на него.

Предельная норма замещения растет с ростом удельных затрат j -го ресурса, т.е. для компенсации одной единицы продукции i -го ресурса требуется все большее количество затрат j -го ресурса. При изменении коэффициента эластичности замещения на 1% соотношение продуктов также должно измениться на 1%. Коэффициент эластичности замещения равен 1, что является недостатком модели, так как согласно статистическим исследованиям такого быть не должно. Рассмотрим, каким образом темп роста производства зависит от темпов роста затрат ресурсов: Темп роста объемов производства линейно зависит от темпов роста затрат ресурсов: Если объем затрат ресурсов изменился на 1% для каждого ресурса, то объем выпуска продукции изменится на . Во многих случаях для выполняется условие для них объем выпуска изменится на .

Степенная функция является разновидностью функции Кобба-Дугласа:

L – затраты труда,

K – затраты капитала, тогда

где

Функция предложена в 1920 году.

Изокванты степенной функции имеют асимптоты в виде осей координат, они не пересекаются для разных объемов производства.

Недостаток модели: 1) в каком бы очень маленьком количестве мы не имели ресурс, его всегда можно заменить достаточно большим количеством других ресурсов. 2) также равенство эластичности взаимозаменяемости 1. Поэтому ведутся разработки по избавлению от этого недостатка. Например, создаются функции с постоянной эластичностью замены, не равной 1.

3. Производственная функция с постоянными пропорциями:

– нормирующие множители:

– количество i -го ресурса, необходимого для выпуска продукции в размере .

Пусть (1)

Построим изокванты этой функции для

а) допустим в (1) min достигается при

Будем изменять затраты труда в большую сторону, тогда:

б) предположим

тогда

Функция с постоянными пропорциями является непрерывной, но недифференцируемой. Увеличение затрат одного ресурса при фиксированном значении второго не приводит к увеличению продукции, так как ресурсы взаимодополняемы. Поэтому эластичность взаимозаменяемости

Предельную эффективность каждого ресурса вычислить не можем, так как его нельзя рассматривать обособленно от других ресурсов.

Рассмотренные три типа ПФ являются базовыми, в чистом виде они не применимы. Но они описывают типичные производства. Помимо этих ПФ имеются некоторые модифицированные ПФ:

– начальные уровни запуска производства. Т.е. для запуска производства нужен определенный начальный уровень ресурсов

Ресурсы заменяют друг друга лишь до определенного момента. Например, серый хлеб: надо сохранять определенные пропорции.

Функция нелинейная, но отражает полностью взаимозаменяемые ресурсы

Показатели эффективности использования производственных ресурсов (коэффициенты средней и предельной эффективности). Коэффициент эластичности выпуска. Вычисление этих показателей для степенной производственной функции.

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рас­сматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы X₁,…, X _п, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Y₁,…Y_m. Y=f(X);

Средняя эффективность использования ресурсов – показывает отдачу от каждой единицы i -го ресурса. . Не очень «хороший» показатель. Чем больше x_i, тем больше f (x).

Предельная эффективность – показывает предельный прирост выпуска продукции при увеличении затрат i -го ресурса на малую величину.

– только для взаимозаменяемых ресурсов.

При этом важен характер изменения эффективности дополнительных количеств используемого ресурса. Если найдем максимальный , то определим, от какого ресурса получим наибольшую отдачу, т.е. ответим на вопрос, куда лучше вкладывать деньги.

– скорость изменения предельной эффективности

Строгое неравенство означает, что предельная эффективность ресурса падает с увеличением ресурса, так как уменьшается обеспеченность другими ресурсами.

Экономическая интерпретация падения предельной эффективности: при увеличении количества работников и неизменном количестве станков падает фондовооруженность каждого работника, а следовательно каждый новый работник будет иметь в распоряжении меньше станков, чем его предшественники, т.е. его производительность будет меньше. Условие известно в экономической теории как закон убывающей предельной эффективности ресурсов. Данный закон действует только при условии, что качество ресурсов не меняется.

Как видно из графика кривая выпуска продукции увеличивается, но существует предел её возрастания. Если производная (предельная эффективность) не превращается в постоянную, то рост производства будет все время замедляться. Кривые средней и предельной эффективности убывают. Предельная эффективность всегда ниже средней.   ПФ имеет такой вид при неизменном количестве и качестве других ресурсов.

Совсем другим образом ведут себя эти показатели при изменении других ресурсов

т.е увеличение одного ресурса ведет к увеличению средней эффективности другого ресурса.

т.е при увеличении одного ресурса растет предельная эффективность другого ресурса

Если растет количество станков, то растет фондовооруженность каждого работника. Следовательно, будет больше производительность труда новой единицы, чем до увеличения количества станков, поскольку производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от условий его приложения.