Попятная процедура

Заметим, что при вычислении минимума функции по некоторому аргументу обычно определяются две величины: значение минимума и значение аргумента, при котором минимум достигается. Это значение, которое может быть неединственным, будем обозначать символом argmin.

Положим t=N-1 в (6) и воспользуемся условием (7). Получим

S(x,N-1)=min[R(x,u)+F(x)]

u U

Вычисляя этотминимум, найдем функцию S(х, N-1) и значение и, доставляющее данный минимум:

u=v_N-1(x)=argmin[R(x,u)+F(x)]

u U

Запись v_N-1(x) означает, что значение и зависит от х как от параметра. Определив S(х, N-1) и полагая t = N-2, найдем из (6) функцию S(х, N-2) и соответствующее значение аргумента u =v_N-2(х). Продолжая этот процесс в сторону уменьшения t, получим из (6) последовательно функции S(х, t) и

v_t(x)=argmin[R(x,u)+ S(f(x(t),u),t+1))] (8)

u U

при t = N- 1, N- 2,..., 1, 0,. Отметим, что функция v_t(x) определяет оптимальное управление в момент tпри условии, что система находится в состоянии х. Эта форма задания управления называется управлением по обратной связи так как зависит от текущего состояния системы.

Таким образом, попятная процедура состоит в построении функций S(х,t) и v_t(x) для всех х и t = 0, 1,..., N. Это построение в отдельных случаях может быть выполнено аналитически, но, как правило, является трудоемкой вычислительный процедурой.