Проекция вектора на ось, свойства проекций. 1 страница

Пусть дан вектор AB и ось Ox. A₁B₁ = пр_OxAB = |AB|cosj, 0 £ j £ 180^o (рис.1) Св-ва проекции: 1) пр_Ox(a+b) = пр_Oxa + пр_Oxb; 2) пр_Ox(ma) =mпр_Oxa. Пусть дана прямоуг. система координат и произвольная т. М в пространстве. OM- радиус-вектор(рис.2). Проекции радиус-вектора ОМ z,y,z на оси координат наз. декартовыми(прямоугольными) координатами т. М в пространстве. |OM|=Öx²+y²+z². Пусть в прямоуг. системе координат даны две т-ки А и В (рис.3). АВ=r₁-r₂; пр_OxAB=x₂–x₁; пр_OyAB=y₂–y₁; пр_OzAB=z₂–z₁; |AB|=Ö(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)².

№12. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, разложение вектора по базису.

Векторы называются линейно независимыми, если . Векторы называются линейно зависимыми, если они не являются линейно независимыми, т.е. существуют числа такие, что . Упорядоченная система элементов e₁,…,e_n линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства.

№13.Прямоугольная система координат. Координаты точки и вектора в системе координат. Длина вектора, направляющие косинусы вектора.

Система трёх взаимно ^ осей Ox, Oy, Oz с общим началом в т. О и одинаковой единицей масштаба наз. прямоугольной системой координат в пространстве. Направление осей можно задать единичными векторами i, j, k, которые наз. ортами этих осей соответственно(рис.1). Пусть дана прямоуг. система координат и произвольная т. М в пространстве. OM- радиус-вектор(рис.2). Проекции радиус-вектора ОМ z,y,z на оси координат наз. декартовыми(прямоугольными) координатами т. М в пространстве. |OM|=Öx²+y²+z². |ОМ| -длина вектора. Направляющие косинусы вектора ОМ: Пусть в прямоуг. системе координат даны две т-ки А и В (рис.3). АВ=r₁-r₂; пр_OxAB=x₂–x₁; пр_OyAB=y₂–y₁; пр_OzAB=z₂–z₁; |AB|=Ö(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)². Направляющие косинусы вектора ОМ: cosa=x/|OM|; cosb=y/|OM|; cosg=z/|OM|. сos²a+ сos²b+ сos²g= (x/|OM|)²+(y/|OM|)²+(z/|OM|)²=(x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)=1.

№14.Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие перпендикулярности векторов.

Скалярным произведением двух векторов a и b наз. число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними(рис.1): ab=|a||b|cosg, g=(a^Ùb); пр_ab=|b|cosg Þ ab=|a|пр_ab или ab=|b|пр_ba. Св-ва: 1)ab=ba; 2)a(b+c)=ab+ac; 3)(ma)(nb)=(mn)(ab); 4) Если a||b, то g=(a^Ùb)=0^o или 180^oÞ cosg = ±1Þ ab=±|a||b|. В частности аа=а²=|a|² т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длинныÞ |a|=Öa²; 5) Если a^b, то g=90^oÞ cosg=0Þ ab=0; Обратно если ab=0Þ a=0 или b=0 или a^b; 6)i²=j²=k²=1; 7)Если a={a₁+a₂+a₃}=a₁i+a₂j+a₃k; b={b₁+b₂+b₃}=b₁i+b₂j+b₃k; тогда ab=(a₁i+a₂j+a₃k) (b₁i+b₂j+b₃k) = a₁b₁i²+a₁b₂ij+ a₁b₃ik+a₂b₁ij+a₂b₂j²+a₂b₃jk+ a₃b₁ki+a₃b₂kj+a₃b₃k² =a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃; ab=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃; 8)ab=|a|пр_abÞпр_ab=ab/|a|; 9) ab=|a||b|cosg,g=(a^Ùb)Þ cosg=ab/|a||b| или cosg=(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)/(Öa₁²+a₂²+a₃² Öb₁²+b₂²+b₃²); 10)Если a^b,a¹0,b¹0,тогда a^bÛab=0; 10)a||bÛa₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b_3.

№15.Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

Векторным произведением a´b наз. вектор с, такой что: 1)|c|=|a´b|=|a||b|sing, g=(a^Ùb) т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, натянутого на вектора a и b (рис.1); 2) c^a, c^b; 3)a,b,c -правая связка; Св-ва: 1)a´b= -b´a; 3)ma´nb=(mn)a´b; 3)(a+b)´c=a´c+b´c; 4)a||b, sing=0Þa´b=0; Обратно: a´b=0, a¹0, b¹0Þa||b; a||bÛa´b=0; 5)i´i=j´j=k´k=0; i´j=k, j´k=i, k´i=j, j´i=-k, k´j=-i, i´k=-j (рис.2). Векторное произведение двух смежных даёт следующий со знаком «+». Если идти в обратном направлении, то со знаком «-». Пусть a={a₁+a₂+a₃}=a₁i+a₂j+a₃k; b={b₁+b₂+b₃}=b₁i+b₂j+b₃k; a´b= (a₁i+a₂j+a₃k) ´(b₁i+b₂j+b₃k)= a₁b₁i´i+a₁b₂j´j+a₁b₃i´k +a₂b₁i´j+a₂b₂j´j+a₂b₃j´k+ a₃b₁k´i+a₃b₂k´j+a₃b₃k´k =a₁b₂k-a₁b₃j- a₂b₁k+a₂b₃i+a₃b₁j-a₃b₂i =i(a₂b₃-a₃b₂)-j(a₁b₃-a₃b₁)+k(a₁b₂-a₂b₁)=(*)=xi+yj+zk, где x=(*1), y=(*2), z=(*3). Из определения векторного произведения следует, что площадь парал-ма, построенного на векторах а и b: S=|a´b|; а площадь треугольника: S=1/2|a´b|.

№16.Смешанное произведение векторов и его свойства.

Умножим вектора а´b, а затем полученный вектор u скалярно умножим на вектор с, тогда получим число, которое наз. смешанным произведением a,b,c: (a´b)c -число; a={a₁+a₂+a₃}; b={b₁+b₂+b₃}; c={c₁+c₂+c₃}; u={u₁+u₂+u₃}; (a´b)c=uc= u₁c₁+u₂c₂+u₃c₃=(*). Св-ва: 1)От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, сохраняя абсолютную величину(т.к. при этом меняются две строки определителя); 2)Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно поменять местами т.к. по св-ву (1) (a´b)c=-(c´b)a=(b´c)a=a(b´c), поэтому смешанное произведение часто записывают abc, опустив скобки и знаки действий, т.к. безразлично какие два рядом стоящих вектора перемножаются векторно, а какие скалярно. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть OA=a, OB=b, OC=c– некомпланарны(правая связка)(рис.1). Т.к. векторы a,b,c- правая связка, то вектор u будет направлен в ту же сторону, что и с. V_п=S_ABCD H=|(a´b)|пр_uc=|u|пр_uc=uc=(a´b)c. Таким образом V_п=±(a´b)c причём «+» берётся если a,b,c- правая связка, и «-» если левая. V_п=|(a´b)c|; V_пир=1/6|(a´b)c| (рис.2). 1)Пусть a,b,c- компланарны, или какие-то два из трёх векторов коллинеарны: a||bÞu=a´b=0; 2)Или с лежит в плоскости двух других векторов а и b, т.е. проекция вектора с на вектор u пр_uc=0. Но и в том и в другом случае имеем, что смешанное произведение a,b и c будет равно (a´b)c=|u|пр_uc=0. Обратно: (a´b)c=0Þa´b=0 или пр_uc=0. a,b,c -компланарны Û(a´b)c=0 или (*1).

№18)Вывод уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.Общее уравнение плоскости.

! Общее уравнение плоскости!. Пусть дана плоскость a, проходящая через точку М₀, заданную радиус-вектором r₀={x₀;y₀;z₀}, перпендикулярно вектору n={A;B;C}. Проведём радиус-вектор r={x;y;z} в произвольную точку М этой плоскости. Вектор М₀М=r–r₀ лежит в плоскости a и ^ вектору n (рис.1)Þих скалярное произведение М₀Мn=0. Выражая скалярное произведение векторов через их координаты, получем: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

№19.! Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки!. Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть дана плоскость, не параллельная ни одной из координатных осей и отсекающая на осях неравные 0 отрезки: ОМ=а, ON=b, OP=c (рис.1). Уравнение этой плоскости имеет вид: a: Ax+By+Cz+D=0; A¹0, B¹0, C¹0, D¹0. Т.к. М(а;0;0)Îa, Aa+B0+C0+D=0ÞA= -D/a. Т.к. N(0;b;0)Îa, A0+Bb+C0+D=0ÞB= -D/b. Т.к. P(0;0;c)Îa, A0+B0+Cc+D=0ÞC= -D/c. Из a: Ax+By+Cz+D=0 следует: – Dx/a–Dy/b–Dz/c+D=0|:(-D); x/a+y/b+z/c=1– уравнение плоскости в отрезках.

№20)Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть даны две непараллельныеплоскости: a:Ax+By+Cz+D=0, b: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, a не|| b, N₁^a, N₂^b. Линейный угол g двугранного угла, образованного этими плоскостями имеет стороны перпендикулярные к нормальным векторам N₁, N₂ этих плоскостейÞУгол g между плоскостями равен углу между векторами g=(N₁^Ù N₂), или дополняет его до 180°; g=180°-(N₁^Ù N₂) Þ cosg=±(N₁N₂)/(|N₁||N₂|)=|AA₁+BB₁+CC₁|/(ÖA²+B²+C²ÖA₁²+B₁²+C₁²). 1)Если a||bÞN1||N2ÛA/A₁=B/B₁=C/C₁; 2)Если a^bÞ N₁^N₂ÛN₁N₂=0 т.е. AA₁+BB₁+CC₁=0.

№21)Расстояние от точки до плоскости.

Найдём расстояние от точки М₀ до плоскости a:Ax+By+Cz+D=0 (рис.1). d=|М₁М₀|, т.к. N||М₁М₀ÞNМ₁М₀=±|N||М₁М₀|=±|N|d; A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=±|N|d; Ax₀+By₀+Cz₀+D–(Ax₁+By₁+Cz₁+D)=±|N|d; Ax₀+By₀+Cz₀+D=±|N|dÞd=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/(ÖA²+B²+C²).

№22.Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом, проходящей через две две заданные точки.

Система двух линейных уравнений {Ax+By+Cz+D=0(a), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0(b)}, в которых коэффициенты при x,y,z не пропорциональны, определяют некоторую прямую l в пространстве, как линию пересечение плоскостей a и b. Уравнения {Ax+By+Cz+D=0(a), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0(b)} наз. общими уравнениями прямой в пространстве. Пусть прямая l проходит через две точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂), тогда в качестве направляющего вектора прямой l примем вектор М₁М₂={x₂–x₁;y₂–y₁;z₂–z₁}Þ l: (x–x₁)/(x₂–x₁)=(y–y₁)/(y₂–y₁)=(z–z₁)/(z₂–z₁).

№23.Общее уравнение прямой на плоскости,! уравнение прямой в отрезках!.

Система двух линейных уравнений {Ax+By+Cz+D=0(a), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0(b)}, в которых коэффициенты при x,y,z не пропорциональны, определяют некоторую прямую l в пространстве, как линию пересечение плоскостей a и b. Уравнения {Ax+By+Cz+D=0(a), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0(b)} наз. общими уравнениями прямой в пространстве.

№24. Угол между 2-мя прямыми на плоскости, условия коллинеарности и ортогональности прямых на плоскости.

L: y=k₁x+b₁ m: y=k₂x+b₂ (рис.) Найдем угол φ φ=(l^m) 0<=φ<¶ ¶-φ=(m^l) φ=α_1-α₂ tgφ=tg(α_1-α₂)= ; →tgφ=│ │. 1)Если прямая l‌‌║m, то α₁₌α₂→tgα₁=tgα₂→k₁=k₂ ; l║m↔ k₁=k_2. 2) l┴m, то φ= α_1-α₂+ tgα₂=tg(α₁+ )=-ctgα₁= k₂=- . l┴m k₁k₂=-1. Если векторы и перпендикулярны плоскости Р, то они коллениарны. Если угол между ненулевыми векторами и равен 90⁰, то векторы и называют ортогональными и пишут . По определению, векторы и также считают ортогональными, если один из них нулевой.

№25. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Точка пересечения 2-х прямых.

l: xcosβ+ysinβ-p=0 M₁(x₁,y₁) d=‌‌│MK│=│P₀N│‌(рис.) Найдем проекцию точки М₁ на ось ON пр_ONM₁=x₁cosβ+y₁sinβ. OP₀=p+│NP₀│. x₁cosβ+y₁sinβ= p+│NP₀│→d+ x₁cosβ+y₁sinβ-p→для того чтобы найти расстояние от точки до прямой надо в левую часть нормального уравнения прямой подставить координаты данной точки. d= │x₁cosβ+y₁sinβ-p│. Если l: xcosβ+ysinβ+с=0, то приведя это уравнение к нормальному виду получим. d=│ │.

№26. Общие уравнения прямой в пространстве.

Система 2-х линейных уравнений (Ax+By+Cz+D=0 (α) и A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (β) (*)). Система 2-х линейных уравнений в которых коэффициенты не пропорциональны определить некоторую прямую l в пространстве как линия пересечения плоскости α и β. Уравнение (*) называется общим уравнением прямой в пространстве.

№27. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

= =(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A). Поскольку векторное равенство эквивалентно трем координатным, получаем, что М € l тогда и только тогда, когда x=x_A+ta_x, y=y_A+ta_y, z=z_A+ta_z (a_x= x_B-x_A, a_y=y_B-y_A, a_z=z_B-z_A (**)). (*), если знаменатель одной из дробей равен нулю, то равен нулю и числитель этой дроби. Например, если a_y=0, а a_z≠0, то систему уравнений надо понимать так: y=y_A, a_x=(z-z_A)=a_z(x-x_A). Если a_y=y_B-y_A=0 и a_z=z_B-z_A=0, то система уравнений (*) принимает вид y=y_A, z=z_A, т.е. определяет прямую l= (АВ), параллельную оси абсцисс и проходящую через точку A (x_A; y_A; z_A). Параметрические уравнения (**) этой прямой имеют вид x=x_A+ta_x, y=y_A, z=z_A где (a_x≠0). Так как a_x=x_B-x_A, a_y=y_B-y_A, a_z=z_B-z_A, то система уравнений, определяющих прямую l=(АВ), которая проходит через 2 заданные точки A (x_A; y_A; z_A) и B (x_B; y_B; z_B), может быть записана также в виде . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой l в пространстве.

№28. Переход от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.

Пусть z=0 M(-1;-1;0) .

№29. Уравнение прямой в проекциях. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

M₁(x₁; y₁) M₂(x₂; y₂), x₁≠x₂, т.е. прямая М₁М₂ не параллельна OY. Согласно предыдущему уравнение любой не вертикальной прямой проходящих через M₁(x₁; y₁) имеет вид y-y₁=k(x-x₁) (*). Т.к. точка М₂ принадлежит данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Т.е. y₂-y₁=k(x₂-x₁) .(*) y y₁=

№30. Угол между 2-мя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых в пространстве.

(Углом между прямыми в пространстве называется любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным). L: y=k₁x+b₁ m: y=k₂x+b₂ (рис.) Найдем угол φ φ=(l^m) 0<=φ<¶ ¶-φ=(m^l) φ=α_1-α₂ tgφ=tg(α_1-α₂)= ; →tgφ=│ │. 1)Если прямая l‌‌║m, то α₁₌α₂→tgα₁=tgα₂→k₁=k₂ ; l║m↔ k₁=k_2. 2) l┴m, то φ= α_1-α₂+ tgα₂=tg(α₁+ )=-ctgα₁= k₂=- .l┴m k₁k₂=-1. Параллельность и перпендикулярность. В случае перпендикулярности прямых L₁ и L₂ их нормальные векторы также перпендикулярны, т.е. справедливо равенство (n₁, n₂)=0 или A₁A₂+B₁B₂=0. В случае параллельности L₁ и L₂ их нормальные векторы коллинеарны, т.е. справедливо равенство n₁=λn₂. Переходя к координатам этих векторов, получаем, что A₁=λa₂, B₁=λB₂, или .

№31. Расстояние между 2-мя параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между 2-мя скрещивающимися прямыми.

l: xcosβ+ysinβ-p=0 d│MK│=│P₀N│(рис). Найдем проекцию точки М₁ на ось ON пр_ONM₁=x₁cosβ+y₁sinβ, OP₀=p+│NP₀│, x₁cosβ+y₁sinβ=p+│NP₀│ d= x₁cosβ+y₁sinβ-p для того чтобы найти расстояние от точки до прямой надо в левую часть нормального уравнения прямой подставить координаты данной точки т.е. d= x₁cosβ+y₁sinβ-p. Если l: xcosβ+ysinβ-p=0, то приведя это уравнение к нормальному виду получим: d= .

№32. Условия коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

называют коллинеарными, если коллениарны изображающие их направленные отрезки Если угол между ненулевыми векторами и равен 90⁰, то векторы и называют ортогональными и пишут . По определению, векторы и также считают ортогональными, если один из них нулевой.

l: ; α: Ax+By+c+D=0; Найдем точки их пересечения, прейдем каноническое уравнение прямой к параметрической. (V), и выражаем для (x; y; z) подставим в уравнение плоскости получим уравнение относительно неизвестного параметра t, затем подставим найденное значение t в (V) получим координаты в точках пересечения прямой и плоскости.

№35. Переменные и постоянные величины. Определение функции. Способы задания функций.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все численные значения одинаковы. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x или, в символической записи, y=f(x), y=φ(x), и т.п. Способы задания функции. 1) Аналитический. 2) Графический. 3) Табличный. 4) Словесно.

№36. Основные элементарные функции их графики.

Если к каждому значению переменной «х» из некоторой области соответствует одно определенное значение «у», то это называется функция от переменной «х» у=f(х). х- независимая переменная или аргумент. Зависимость между «х и у» называется функциональной буквой «f» в символической записи функция означает, что над «х» надо произвести некоторые операции, чтобы получить «у». Совокупность значений «ч» для которых определяется значение функции «у» в силу правила f(x) называется областью определения функции. Они бывают: 1) степенная y=x^α α€R x>0. 2)показательная y=a^x a>0 x€R a≠1. 3) Тригонометрические y=sinx y=cosx y=secx и т.д. 4) Логарифмические y=log_ax a>0, a≠1, x>0. 5) Обратные тригонометрические y=arcsinx, y=arccosx, и т.д.