Приклад 4. Водометний двигун катера забирає воду з річки і викидає її з швидкістю відносно катера назад

Водометний двигун катера забирає воду з річки і викидає її з швидкістю відносно катера назад. Маса катера кг. Маса щосекунди викиданої води є сталою й дорівнює . Нехтуючи опором рухові катера, визначити:

a) швидкість катера через хв після початку руху;

b) якої граничної швидкості може досягти катер.

Розв’язання:

Нехай – швидкість катера у довільний момент часу . За проміжок часу катер викидає води із швидкістю відносно нерухомої системи відліку (берега річки). Якщо знехтувати масою захопленої двигуном води у порівнянні з масою катера, згідно з законом зберігання імпульсу:

. (4.1)

Оберемо вісь х таким чином, щоб її додатний напрям збігався з напрямом руху катера. Спроектуємо усі вектори на вісь й напишемо рівняння (4.1) для проекцій:

. (4.2)

Зведемо подібні, тоді рівняння (4.2) набуде вигляду:

. (4.3)

Після відокремлення змінних дістанемо

.

Виконаємо інтегрування, враховуючи, що при змінюванні часу від нуля до швидкість зростає від нуля до :

.

Після інтегрування:

.

.

Залежність швидкості від часу:

. (4.4)

З формули (4.4) випливає, що

.

Після підстановки числових значень знайдемо швидкість катера через одну хвилину:

.