для поступающих в 10 класс

Задание по математике

1. Вычислите: .

2. Принимает ли выражение значение, равное ?

3. Решите уравнение

4. Найдите k и m,если точка А(-2;-7) является вершиной параболы .Постройте график функции.

5. Решите систему уравнений:

6. Найдите область определения функции

7. Двое рабочих, выполняя определённое задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит работы, его сменит второй, то всё задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всё задание?

8. На диагоналях АС и BD трапеции ABCD взяты соответственно точки M и N, причем . Найдите МN, если .

9. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 2.

10. Известно, что и - корни квадратного уравнения , и - корни квадратного уравнения , причем числа составляют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите и .

1. Числовые выражения и их значения

2. Модуль (абсолютная величина) числа и его геометрический смысл. Свойства модуля. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, с использованием определения и свойств модуля. Тождество .

3. Выражения с переменными. Числовое значение выражения с переменными. Тождество. Дробно-рациональные выражения с переменными. Область допустимых значений переменных.

4. Одночлен и многочлен. Стандартный вид одночлена и многочлена. Тождественные преобразования многочленов (раскрытие скобок, приведение подобных одночленов). Действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение). Представление многочлена в виде суммы или разности нескольких многочленов. Представление произведения в виде степени. Степень одночлена и многочлена. Приведение многочлена к стандартному виду.

5. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя и группировка. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители. Выделе­ние полного квадрата. Метод неопределённых коэффициентов.

6. Формулы сокращённого умножения: Разность квадратов ; квадрат суммы или разности ; сумма или разность кубов ; куб суммы или разности . Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов.

7. Деление одночлена и многочлена на одночлен. Деление многочленов. Сокращение дробей.

8. Уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Степень уравнения. Равносильность уравнений.

9. Квадратные уравнения общего вида. Дискриминант. Формулы корней квадратного уравнения (общего вида, для четного второго коэффициента, для приведенного квадратного уравнения). Неполные квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители методом выделения полного квадрата и по формуле. Теорема Виета и ей обратная.

10. Алгоритм решения уравнений вида . Решение уравнений с помощью разложения на множители.

11. Биквадратные уравнения. Решение уравнений с помощью введения вспомогательной переменной. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Симметрические и возвратные уравнения.

12. Уравнения, решаемые на основании свойств модуля и его определения.

13. Неравенства. Свойства числовых неравенств. Линейное неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Системы линейных неравенств с одной переменной. Двойные неравенства.

14. Квадратные неравенства (D>0, D<0, D=0). Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции. Неравенства, сводимые к квадратным неравенствам. Дробно-рациональные неравенства. Неравенства высших степеней. Метод интервалов. Системы неравенств с одним неизвестным.

15. Понятие функции и функциональная символика. Задание функции формулой.

16. Область определения функции, заданной алгебраической дробью (допустимые значения переменной). Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

17. Свойства функции: нули (корни) функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции. Четные и нечетные функции.

18. Свойства и графики функций ; ; ; ; ; ; ; .

19. График квадратичной функции (парабола). Координаты вершины параболы. Направление ветвей параболы. Построение параболы по точкам.

20. Графики функций, заданных кусочно. График функции у = | х |.

21. Построение графиков функций вида ; ; ; . Исследование функции по ее графику.

22. Графическое решение уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.

23. Множества на координатной плоскости. График уравнения с двумя переменными. Уравнение окружности.

24. Системы уравнений с двумя неизвестными (переменными) и их геометрический смысл. Графический способ решения систем уравнений.

25. Равносильные системы уравнений. Способы решения систем уравнений (способ подстановки, сложения и замены переменных).

26. Системы уравнений второй степени.

27. Распадающиеся системы уравнений. Системы однородных уравнений. Симметрические системы.

28. Математическое моделирование. Решение задач, приводящих к линейным, квадратными дробно-рациональным уравнениям и системам. Задачи на движение (в одном направлении, в противоположных направлениях, в перпендикулярных направлениях, по окружности). Задачи на совместную работу.

29. Арифметические к орни. Действия с радикалами. Степень с дробным показателем. Понятие арифметического квадратного корня и его приближенного значения. Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (внесение множителя под знак корня и вынесение множители из-под знака корня, освобождение от иррациональности в знаменателе). Сравнение значений числовых выражений, содержащих корни.

30. Корни п -ой степени. Свойства корней п -ой степени. Преобразование выражений, содержащих корни п -ой степени.

31. Последовательности. Прогрессии. Понятие последовательности. Определение и характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессии. Рекуррентная формула. Формулы п -го члена и суммы п первых членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

32. Параметры. Понятие параметра. Способы решения задач с параметром. Исследование линейно­го уравнения и системы линейных уравнений с параметром. Исследование линейно­го неравенства и системы линейных неравенств с параметром. Исследование квадратного уравнения и неравенства с параметром. Исследование рационального уравнения с параметром. Нахождение множества значений функции.

33. Геометрия. Треугольник и его элементы. Признаки равенства треугольников. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

34. Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

35. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников.

36. Четырехугольники, их виды, признаки и свойства.

37. Площадь фигур. Формулы для нахождения площади треугольника, четырехугльников.

38. Окружность и ее элементы. секущие и касательные.

v Рекомендуемая литература.

1 Алгебра 9 класс: учебники для общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин./, /Ю.Н. Макарычеи, Н.Г. Миндюк и др./;

2 Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. псобие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / М.Л.Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.;

3 Дидактические материалы по алгебре для 8класса / Б.Г.Зив, В.А. Гольдич;

4 Геометрия для 9 классов: учебник для общеобразоват. Учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др./;

5 Дидактические материалы по геометрии для 8 класса / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер.;

6 Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы: Пособие для учащихся