Характеристические функции

Характеристической функцией случайной величины называется функция

,

где - мнимая единица. Функция представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины

,

функционально связанной с величиной . При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чем законами распределения.

Зная закон распределения случайной величины , легко найти ее характеристическую функцию.

Если - прерывная случайная величина с рядом распределения

то ее характеристическая функция

Если Х - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то ее характеристическая функция

.

Пример 1. Случайная величина Х - число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна Р. Найти характеристическую функцию случайной величины Х.

Решение. По формуле (13.7.2) имеем:

,

где .

Пример 2. Случайная величина имеет нормальное распределение:

. (13.7.4)

Определить ее характеристическую функцию.

Решение. По формуле (13.7.3) имеем:

. (13.7.5)

Пользуясь известной формулой

и имея в виду, что , получим:

. (13.7.6)

Формула (13.7.3) выражает характеристическую функцию непрерывной случайной величины через ее плотность распределения . Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть , чтобы получить называется преобразованием Фурье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция выражается через с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, функция выражается через с помощью так называемого обратного преобразования Фурье:

. (13.7.7)

Сформулируем и докажем основные свойства характеристических функций.

1. Если случайные величины и связаны соотношением

, где а - неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением:

. (13.7.8)

Доказательство:

.

2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Доказательство. Даны - независимые случайные величины с характеристическими функциями

и их сумма

.

Требуется доказать, что

.

Имеем

.

Так как величины независимы, то независимы и их функции . По теореме умножения математических ожиданий получим:

,

что и требовалось доказать.

Аппарат характеристических функций часто применяется для композиции законов распределения. Пусть, например, имеются две независимые случайные величины X и Y с плотностями распределения и . Требуется найти плотность распределения величины

.

Это можно выполнить следующим образом: найти характеристические функции и случайных величин Х и Y и, перемножив их, получить характеристическую функцию величины Z:

,

после чего, подвергнув обратному преобразованию Фурье, найти плотность распределения величины z:

.

Пример 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов:

с характеристиками ; ;

с характеристиками , .

Решение. Находим характеристическую функцию величины X. Для этого представим ее в виде

,

где ; .

Пользуясь результатом примера 2, найдем

.

Согласно свойству 1 характеристических функций,

.

Аналогично

.

Перемножая и , имеем:

,

а это есть характеристическая функция нормального закона с параметрами ; . Таким образом, получена композиция нормальных законов гораздо более простыми средствами, чем в