Вычисление тройного интеграла

1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T. Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда

Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь

где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy. Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью представляет собой квадрируемую фигуру G(x) (рис. 1). Тогда

3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z ₁ (x, y) и z = z ₂ (x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z ₁ (x, y) и z ₂ (x, y) - непрерывны в G. Тогда

Если G = {(x, y): a x b, y1(x) y y2(x)}, то

Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.