Детерминант. Его свойства

Детерминант - одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы. В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

· Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

· При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

· Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

· Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

· Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

· Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

· Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

· Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

· Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

· Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. Также формулу Бине-Коши).

· С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения: