Основная часть. Тема 1. Элементы аналитической геометрии (1 занятие)

Тема 1. Элементы аналитической геометрии (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Формулы расстояния между двумя точками. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

2. Виды уравнения прямой. Взаимное расположения прямых. Формула расстояния от точки до прямой.

3. Вывод уравнения окружности и его свойства. Приведение к каноническому виду.

Практические задания

[1], с.29 №№ 1-7, с.54 №№1-14; [2], №№1-14, №№59-81, №№82-100, №№103-120.

Контрольные вопросы

1. Метод координат на плоскости.

2. Виды уравнения прямой на плоскости. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты общего уравнения прямой. Переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом, к уравнению прямой «в отрезках».

3. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты общего уравнения окружности? Как преобразовать общее уравнение окружности к каноническому виду?

4. Какие кривые второго порядка Вы знаете? Приведите их уравнения и сформулируйте их свойства. Постройте эти кривые.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства, геометрический смысл.

2. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола; их канонические уравнения и свойства.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№15-21, №№59-81, №№82-100, №№140-164.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.9-54.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 2. Множества и операции над множествами (для самостоятельного изучения)

Вопросы для изучения

1. Понятие множества, подмножества. Операции над множествами. Элементы математической логики. Сравнение свойств операций над множествами и операций с числами. Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами.

2. Свойства числовых множеств. Множество действительных чисел, изображение их на числовой оси. Непрерывность числовой оси. Счетные и несчетные множества. Замкнутые и открытые множества.

3. Понятие окрестности точки.

4. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.

5. Комплексные числа. Комплексные числа и многочлены. Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Показательная и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Действия с комплексными числами. Комплексно - сопряженные числа.

Задания для самостоятельной работы

[1], с.83, №4; [2], №№630-659.

Контрольные вопросы

1. Какие операции над множествами определены? Объясните, как выполняются эти операции?

2. Определить понятие ε-окрестности.

3. Определение абсолютной величины действительного числа и ее геометрический смысл.

4. Арифметические действия с комплексными числами.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1/ Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.58-62.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 3. Функции одной переменной (для самостоятельного изучения)

Вопросы для изучения

1. Определение функции как соответствия между двумя множествами. Функциональная зависимость.

2. Способы задания функций. Область определения функции и ее график. Свойство однозначности.

3. Графики основных элементарных функций.

4. Сложная функция. Обратная функция. Неявные функции.

5. Производственные функции.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№673-701; [1], с. 83, №№5-6

Контрольные вопросы

1. Что называется функцией? Что называется областью определения функции?

2. Указать способы задания функций.

3. Дать определение чётной, нечётной функции.

4. Сформулируйте условия существования обратной функции, сложной функции.

5. Можно ли утверждать, что всякое уравнение вида определяет неявную функцию?

6. Какая область называется экономически обусловленной областью определения производственной функции?

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.62-74, 304-310.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 4. Предел последовательности (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Числовые последовательности. Свойства числовых последовательностей.

2. Понятие предела числовой последовательности.

3. Необходимый признак сходимости последовательности. Достаточный признак сходимости последовательности

Практические задания

[1], с.145, №№1-3; [2], №№702-725.

Контрольные вопросы

1. Что называется последовательностью?

2. Какая последовательность называется ограниченной, монотонной?

3. Какое из следующих утверждений является верным:

а) Если последовательность сходится, то она ограничена;

б) Если последовательность ограничена, то она сходится?

4. Сформулировать геометрический смысл предела последовательности.

5. Может ли последовательность иметь два предела?

6. В чем состоит достаточный признак сходимости последовательности?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Множества.

2. Свойства числовых последовательностей.

3. Число е, натуральные логарифмы.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№726-731.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.86-98.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 5. Предел функции (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Понятие функции одной переменной.

2. Предел функции одной переменной в точке и на бесконечности.

3. Теоремы о функциях, имеющих предел в точке.

4. Действия над пределами. Раскрытие неопределённостей при вычисление пределов.

Практические задания

[1], Стр. 146, №№4-7; [2], №№734-813.

Контрольные вопросы

1. Какие виды неопределенностей встречаются при вычислении пределов?

2. Какие пределы называются односторонними пределами функции в точке?

3. Какие функции называются бесконечно малыми, бесконечно большими функциями в точке, как они связаны между собой?

4. Какой вид неопределенности раскрывается с помощью а) первого замечательного предела; б) второго замечательного предела?

5. Вывести первый замечательный предел.

6. Сформулировать второй замечательный предел.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Сложная функция. Обратная функция.

2. Производственные функции.

3. Односторонние пределы функ­ции в точке.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема о связи между ними. Сравнение бесконечно малых функций.

5. Виды неопределенностей при вычислении пределов.

6. Первый и второй замечательные пределы.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№836-847

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С. 98-120.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 6. Непрерывность функции (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Непрерывность функции в точке, в интервале, на отрезке.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3. Точки разрыва и их классификация. Исследование характера разрыва.

4. Гипербола, ее свойства и график.

5. Неполное исследование функции и построение эскиза ее графика.

Практические задания

[1], с. 149, №№8-11; [2], №№814-829.

Контрольные вопросы

1. Дать определение непрерывности функции в точке.

2. Привести правило предельного перехода для непрерывной функции.

3. Какая точка называется точкой разрыва функции?

4. Дать определение устранимой точки разрыва функции, точки разрыва 1-го и 2-го рода. Привести примеры функций, имеющих эти точки разрыва.

5. При каких условиях существует а) наклонная асимптота кривой; б) вертикальная асимптота кривой?

6. Можно ли утверждать, что:

а) всякая непрерывная в точке функция дифференцируема в этой точке;

б) всякая дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке?

7. Привести схему неполного исследования функции и построения эскиза графика.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Непрерывность элементарных функций.

2. Приращение ар­гумента и приращение функции.

3. Непрерывность сложной функции.

4. Асимптоты кривых.

5. Глобальные свойства непрерывных функций (с графической иллюстрацией).

Задания для самостоятельной работы

[2], №№830-833.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.120-143.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 7. Производная и дифференциал функции (2 занятия)

Занятие 1

Вопросы для обсуждения

1. Производная функции, ее физический, геометрический и экономический смысл.

2. Основные правила и формулы дифференцирования.

3. Уравнения касательной и нормали к кривой.

4. Непрерывность дифференцируемой функции. Случаи недифференцируемости непрерывных функций.

Практические задания

[1], с. 252, №№1-134; [2], №№848-873.

Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции, как обозначаются производные?

2. Сформулируйте физический, геометрический и экономический смысл производной функции.

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке, в промежутке?

4. Какие точки называются: угловой точкой, точкой возврата с вертикальной касательной, точкой перегиба с вертикальной касательной?

5. Формулы производных постоянной, суммы, произведения частного.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Производные элементарных функций.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№907-936.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.152-173.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Занятие 2

Вопросы для обсуждения

1. Правило дифференцирования сложной функции. Метод логарифмического дифференцирования.

2. Производная обратной функции.

3. Производная неявной функции.

4. Про­изводные высших порядков.

5. Дифференциал функции 1-го и высших порядков, правило нахождения. Дифференциалы высших порядков.

Практические задания

[1], с.252, №№14-15; [2], №№874-904.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

2. Какая формула связывает производные взаимно обратных функций?

3. Когда применяется метод логарифмического дифференцирования?

4. Что называется дифференциалом функции? Сформулируйте геометрический смысл дифференциала.

5. Как связаны между собой дифференциал и производная функции? В чем различие между ними?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Производные сложной, обратной, неявной функции.

2. Дифференциал функции его геометрический смысл. Дифференциал постоянной, суммы, произведения, частного. Инвариантность фор­мы дифференциала первого порядка.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№937-1077.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1 / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001. - с.173-195.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 8. Применение дифференциального исчисления для исследования функций (2 занятия)

Занятие 1

Вопросы для обсуждения

1. Теорема Ферма, геометрический смысл. Критические точки функции.

2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

3. Правило Лопиталя.

4. Исследование функций на возрастание (убывание).

Практические задания

[1], с. 254, №№16-19; [2], №№1101-1193.

Контрольные вопросы

1. Какими свойствами должна обладать функция в точке x₀ и в ее окрестности для того, чтобы в ней можно было применить теорему Ферма? Как называется точка, если в ней выполняется теорема Ферма для функции y=f(x)?

2. Сформулируйте условия, при которых на отрезке [a, b] к функции y=f(x) применима теорема Ролля?

3. В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?

4. В каких случаях при вычислении пределов можно применять правило Лопиталя?

5. Выберите верное утверждение:

а) Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в этой точке производная функции равна нулю;

б) Если в точке производная функции равна нулю, то в этой точке функция имеет экстремум.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Экстремумы функций.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1194-1221.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.195-218.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Занятие 2

Вопросы для обсуждения

1. Исследование функций на экстремум.

2. Исследование кривых на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

3. Полное исследование функции и построение графиков.

4. Темпы изменения функции.

5. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Решение экономических задач.

Практические задания

[1], с. 254, №№19-21; [2], №№1246-1257.

Контрольные вопросы

1. Какие условия должны выполняться для функции f(x), чтобы ее точка была критической?

2. Какая кривая называется выпуклой (вогнутой) в интервале (a, b)?

3. Какая точка графика называется точкой перегиба?

4. Сформулируйте достаточные условия выпуклости, вогнутости кривых, необходимые условия существования точки перегиба.

5. Назовите виды точек перегиба и сформулируйте условия, при которых имеет тот или иной вид точки перегиба.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Темпы изменения функций.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1258-1262.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.218-249.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 9. Применение дифференциального исчисления в экономических исследованиях (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Производственные функции. Экономически обу­словленная область определения производственных функций.

2. Эластичность функции. Экономическая оценка.

3. Исследование динамики производственных функций, построение их графиков, экономический анализ.

4. Решение задачи на определение максимальной прибыли.

Практические задания

[1], с. 327, №№1-5, 7, 8, 11, 12.

Контрольные вопросы

1. Дать понятие производственной функции.

2. Дать понятия полных, средних, предель­ных издержек. Каков экономический смысл предельных издержек.

3. Что называется эластичностью функции?

4. Какая функция называется эластичной, неэластичной, нейтральной, совершенно неэластичной, совершенно эластичной?

5. Дать понятия функций спроса и предложения.

6. Дать понятия полной и предельной выручек. Каков экономический смысл предельной выручки?

7. Что называется ценой равновесия?

8. Как определить темпы возрастания и убывания функции?

9. Сформулируйте условия достижения максимальной прибыли.

10. Какие кривые называются кривыми безразличия?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Производственные функции: функции спроса, предложения, функции полных, средних, предель­ных издержек; полная, средняя, предельная выручка, прибыль.

2. Эластичность функ­ции, ее экономический смысл. Свойства эластичности. Эластичность спроса и предложения.

3. Исследование динамики полной выручки в зависимости от эластичности спроса. Исследование динамики функций полных, предельных, средних из­держек, экономический анализ.

4. Условия достижения максимальной прибыли.

5. Функция полезности.

6. Кривые безразличия.

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 327, №№6, 9, 10, 13

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1/ Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.304-325

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 10. Функции многих переменных (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Понятие функции двух переменных, область определения и множество значений.

2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

3. Нахождение частных производных и полных дифференциалов 1-го и 2-го порядков.

Практические задания

[1], с.298, №№1-10; [2], №№1844-1874.

Контрольные вопросы

1. Какое множество точек называется плоским? Поясните графически.

2. Какая точка плоского множества называется внутренней, граничной? Поясните графически.

3. Какое плоское множество является замкнутым, открытым, ограниченным, неограниченным?

4. Что является графиком функции двух переменных? Как называется третья координата точки в пространстве?

5. Дайте определение непрерывной функции двух переменных в точке, в области. Приведете примеры.

6. Дайте определения частных производных функции двух переменных. Сформулируйте правило их нахождения. Как обозначаются частные производные?

7. Можно ли утверждать, что полное приращение функции двух переменных равно сумме частных приращений?

8. Дайте определение полного дифференциала функции двух переменных и запишите его формулу.

9. Сколько различных производных второго порядка имеет дифференцируемая функция двух переменных?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Плоские точечные множества.

2. График функции двух переменных.

3. Функция Кобба-Дугласа.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1875-1906.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.257-277.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 11. Экстремумы функции многих переменных (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Исследование функций на безусловный экстремум.

2. Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом множителей Лагранжа.

Практические задания

[1], с.298, №№11-13; [2], №№2030-2042.

Контрольные вопросы

1. Чем отличается условный экстремум функции многих переменных от безусловного экстремума?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Понятие безусловного экстремума функции двух переменных.

2. Необходимое условие существования безусловного экстремума; достаточное условие его существования.

3. Условный экстремум функции двух переменных.

4. Функция Лагранжа.

5. Классические методы оптимизации.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№2043-2050.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.277-297.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 12. Неопределенный интеграл (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Первообразная функция и ее свойства.

2. Неопределенный интеграл и его свойства.

3. Интегрирование методами разложения, подведения под знак дифференциала, замены переменной.

Практические задания

[1], с.378, №1а); [2], №№1263-1347.

Контрольные вопросы

1. Что такое первообразная данной функции? Привести примеры.

2. Для любой ли функции существует первообразная?

3. Что называется неопределенным интегралом?

4. Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

5. Какие функции являются интегрируемыми?

6. Каковы основные методы интегрирования функций?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Таблица формул интегрирования.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1348-1359.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.331-346.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 13. Методы интегрирования (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Интегрирование по частям.

2. Интегрирование простейших дробей.

3. Интегрирование тригонометрических функций и простейших иррациональностей.

Практические задания

[1], с. 378, №1б)-д); [2], №№1360-1499.

Контрольные вопросы

1. В каких случаях применяется метод интегрирования по частям?

2. Какая алгебраическая дробь называется правильной? Неправильной? Приведите примеры.

3. Какие дроби называются простейшими? Приведите примеры.

4. Когда и как производится разложение правильной дроби на простейшие? Приведите примеры.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. «Неберущиеся» интегралы.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1535-1590.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.346-376.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 16. Определенный интеграл и его свойства (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Понятие определенного интеграла.

2. Свойства определенного интеграла, классы интегрируемых функций.

3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

4. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Вычисление определенного интеграла.

Практические задания

[1], с.419, №23; [2], №№1591-1613.

Контрольные вопросы

1. Что называется интегральной суммой данной функции f(x)на данном отрезке [a;b]?

2. Что называется определенным интегралом от данной функции на данном отрезке?

3. В чем состоит свойство сохранения знака определенного интеграла?

4. В чем состоит свойство аддитивности определенного интеграла?

5. Разъясните смысл формулы Ньютона-Лейбница.

6. В чем состоит метод замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.

2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1614-1624.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.384-406.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 17. Приложение определенного интеграла. Несобственные интегралы (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Вычисление площадей криволинейных фигур.

2. Исследование сходимости несобственных интегралов 1 рода.

Практические задания

[1], с.419, №№24-25, с.436, №№ 6-9; [2], №№1625-1668.

Контрольные вопросы

1. Какие геометрические величины можно вычислить с помощью определенного интеграла?

2. Что называется несобственным интегралом от данной функции по бесконечному промежутку? Дать геометрическую иллюстрацию, привести примеры.

3. Какие интегралы относятся к несобственным интегралам I рода?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Площадь криволинейной трапеции.

2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от непрерывных функций.

3. Понятие сходимости несобственных интегралов 1 рода.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1748-1765.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.407-416, с.421-436.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 16. Приближенное вычисление определенного интеграла (для самостоятельного изучения)

Вопросы для изучения

1. Метод трапеций.

2. Формула Симпсона.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1767-1777.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит метод трапеций?

2. В чем состоит применение формулы Симпсона?

Рекомендуемая литература

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука. – 2003. – Глава XIV, с. 250 – 253.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 17. Числовые ряды (2 занятия)

Занятие 1

Вопросы для обсуждения

1. Числовые ряды, частичные суммы.

2. Сходимость и сумма ряда.

3. Свойства сходящихся числовых рядов.

4. Необходимый признак сходимости числовых рядов.

5. Признак сравнения.

Практические задания

[2], №№2422-2424.

Контрольные вопросы.

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется суммой, частичной суммой ряда?

3. Какие ряды называются сходящимися (расходящимися)?

4. В чем отличие конечного суммирования от бесконечного?

5. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

6. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если общий член ряда стремится к нулю при n→∞? Приведите пример.

7. Можно ли утверждать, что ряд расходится, если предел общего члена ряда не равен нулю при n→∞? Приведите пример.

8. Сформулируйте достаточный признак расходимости ряда.

9. Выберите верные утверждения:

а) Числовой ряд сходится, если сумма его конечна;

б) Числовой ряд сходится, если предел его общего члена при , стремящемся к бесконечности, равен нулю;

в) Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при , стремящемся к бесконечности, равен нулю.

10. Выберите верные утверждения:

а) Ряд с большими членами сходится, если сходится ряд с меньшими членами;

б) Ряд с меньшими членами сходится, если сходится ряд с большими членами;

в) Ряд с большими членами расходится, если расходится ряд с меньшими членами;

г) Ряд с меньшими членами расходится, если расходится ряд с большими членами.

11. Перечислите свойства сходящихся рядов.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Числовой ряд, понятие сходимости и суммы ряда.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№2432-2443.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.439-452.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Занятие 2

Вопросы для обсуждения

1. Исследование сходимости числовых рядов с положительными членами.

2. Знакочередующие ряды. Признак Лейбница

3. Исследование знакопеременных нарядов на абсолютную и условную сходимость.

Практические задания

[1], с.479, №9, 17, 20; [2], №№2425-2437.

Контрольные вопросы

1. Какие достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Вы знаете? Сформулируйте их.

2. Какой ряд называется знакочередующимся? Каким признаком пользуются для выяснения сходимости таких рядов? Сформулируйте его.

3. Что такое абсолютная и условная сходимость рядов?

4. Перечислите свойства абсолютно сходящихся рядов.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Знакоположительные ряды.

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

3. Знакопеременные ряды.

4. Абсолютная и условная сходимость рядов с произвольными членами.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№2444-2461.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.452-478.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 18. Функциональные ряды (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Понятие функционального ряда.

2. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда.

3. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенного ряда.

4. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена.

5. Приближенное вычисление с помощью степенных рядов.

Практические задания

[1], с. 522, №№1-4, [2], №№2470-2525.

Контрольные вопросы

1. Какой ряд называется функциональным? Что называется интервалом сходимости функционального ряда. Приведите примеры.

2. Какой ряд называется степенным?

3. Что называется интервалом сходимости степенного ряда? Приведите примеры.

4. Можно ли утверждать, что область сходимости степенного ряда совпадает с интервалом сходимости?

5. Сформулируйте теорему Абеля. Что называется радиусом сходимости степенного ряда?

6. Как производится дифференцирование и интегрирование степенных рядов?

7. Что называется рядом Тейлора, рядом Маклорена.

8. Сформулируйте условия разложимости функций в ряд Тейлора.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Понятие функционального ряда.

2. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

3. Свойства сходящихся степенных рядов.

4. Ряды Тейлора и Маклорена.

5. Примеры разложе­ния функций в ряды Маклорена.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№2526-2537.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.483-521.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.