Функция распределения СВ

Наиболее общей формой закона распределения для дискретной и непрерывной СВ, является функция распределения. Функцией распределения СВ Х называется вероятность того, что она примет значение меньше, чем заданное х.

F(x) = P[X<x]

Геометрически интерпретируется как вероятность того, что СВ Х попадёт левее заданной точки х:

Х<x

Х 1

Основные свойства функции распределения СВ:

1. F(x) – неубывающая функция своего аргумента: при х₂ >x₁ . F(x₂) > F(x₁). Значения функции распределения заключены между 0 и 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Вероятность того, что СВ Х в результате опыта попадёт на участок от α до β равна приращению функции распределения на этом участке.

Вероятность попадания на участок от α до β

F(β) = F(α) + P{ α ≤ X ≤ β }. Отсюда P{ α ≤ X ≤ β } = F(β) - F(α).

3. Функция распределения дискретной СВ строится из ряда распределения.

Например: для напряжения на посту секционирования МПЗ

Значение СВ, кВ	19 - 21	21 - 23	23 - 25	25 - 27	27 -29	29 - 31
Вероятность СВ, о. е	0,05	0,15	0,2	0,3	0,2	0,1

∑Р_i = 0,05 + 0,15 + 0,2 + 0,3 + 0.2 +0,1 = 1

F(U_ПС)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

U, кв

19 21 23 25 27 29 31

Рис. Функция распределения СВ напряжение в середине МПЗ

на посту секционирования U_ПС

Анализ функции распределения СВ U_ПС показывает, что напряжение на посту секционирования ниже допустимого Uмин = 21 кВ достигает 5%, выше допустимого 29 кВ – 10 %, а в диапазоне допустимых напряжений находится 85% по времени. Поэтому следует считать, что качество напряжения в МПЗ низкое.

4.Плотность распределения f(x) – одна из форм закона распределения.

Плотность распределения непрерывной СВ Х в точке х называется производная её функция распределения в этой точке

f(x) = F¹(x).

Для дискретных СВ плотность распределения f(x) называется статистической плотностью распределения или гистограммой.

При экспериментальном исследовании непрерывных СВ для анализа статистических экспериментальных данных используются методы математической статистики.

Формы представления статистической информации:

1. Первичная статистическая совокупность, то есть номер опыта и значение СВ.

2. Упорядоченная статистическая совокупность: значение СВ располагаются по возрастающей.

3. Статистическая функция распределения в виде графика и таблицы.

4. Группированный статистический ряд или гистограмма

Разряд СВ	Х1 – Х2	Х2 – Х3	Хi – Хi +1	Хk-1 – Хk
Статистическая вероятность (частота)	Р*1	Р*2	Р*i	Р*k

k

При этом ∑ Р^*_i = 1, где Р^*_i - частота или статистическая вероятность.

i = 1

Если каждую частоту Р^*_i разделить на длину разряда, то получим плотность частоты f^*_i . Статистическая плотность распределения или гистограмма строится в осях f^*_i = f(Хi – Х_{i +1})

f^*_I,

%

0

X, кв

17 19 21 23 25 27 29 31

Рис. Статистическая плотность распределения или гистограмма.