Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В нашем курсе считаем неопределяемыми три понятия:
1) множество; 2) элемент; 3) принадлежность.
Будем обозначать множества заглавными буквами, элементы множества – строчными, например, А – множество; a, b, c – элементы, при этом, если элемент a принадлежит множеству A, пишем , если элемент c не принадлежит множеству A, пишем .
Задавать множества можно различными способами, например, перечислив все его элементы: , причем порядок записи элементов безразличен. Часто задают множество, указав его характеристическое свойство, которое для каждого элемента позволяет выяснить, принадлежит ли он множеству или нет, например:
B={x ç x - целый корень уравнения },
C={ x - целое }.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения для числовых множеств: N - множество натуральных чисел, N={1,2,3,...}; Z - множество целых чисел, Z={...-2,-1,0,1,2,3,...}; Q - множество рациональных чисел; R - множество действительных чисел.
Определим теперь два специальных множества.
Пустым множеством называется множество Æ, обладающее свойством: при любом x.
Универсальным множеством называется множество U всех рассматриваемых в данной задаче элементов.
Пример. В задаче: найти все решения уравнения - ответы будут разными в зависимости от того, какое множество рассматривается как универсальное. Если U=Z, то множество решений M =Æ; если U=R, то .
Будем говорить, что множество A включается во множество B , если каждый элемент множества A является элементом множества B. Из определения включения непосредственно следуют свойства:
1) для любого множества A;
2) если и , то ;
3) для любого множества A;
4) для любого множества A.
Подмножество называется собственным подмножеством множества B ( - строгое включение), если A не пусто и не совпадает с B. Например: .
На основе понятия включения можно определить равенство множеств: A=B тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения и , т.е.
(1.1)
Свойства равенства множеств:
1) для любого A справедливо A=A;
2) если A=B, то и B=A;
3) если A=B и B=C, то A=C.
Взаимное расположение множеств изображается с помощью диаграмм Эйлера-Венна, на которых универсальное множество изображается прямоугольником, а произвольные множества, являющиеся подмножествами универсального - кругами.
При этом возможны следующие случаи взаимного расположения двух множеств A и B:
1) одно из множеств строго включается в другое ( или );
2) множества равны;
3) множества не имеют общих элементов;
4) множества находятся в общем положении, т.е. не подходит ни один из вышеперечисленных случаев, а множества имеют общие элементы, не равны, и ни одно из них не является подмножеством другого.
Диаграммы Эйлера-Венна применяются для изображения операций над множествами.
Объединением множеств A и B называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (заштрихуйте объединение множеств на рис.1.1,а). Пусть A={0,1,2}, B={-1,2,3}, тогда .
| |||||
Пересечением множеств A и B называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B (заштрихуйте пересечение множеств на рис.1.1,б). Если A={0,1,2},B={-1,2,3}, то .
Разностью множества A и B называется множество A \ B тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис.1.2,а). Пример:
Дополнением множества A до универсального U называется множество (рис.1.2,б).
Симметрической разностью множеств A и B называется множество или . Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для симметрической разности.
Элементы множества могут сами быть множествами: A={{1,2},{2,3},{4,5,6}}, в таком случае удобно говорить о семействе множеств. Рассмотрим некоторые семейства множеств: булеан множества, покрытие, разбиение множества.
Булеаном B(X) множества X называется множество всех подмножеств множества X. Например, для множества X={ 0,1 } булеаном является множество .
Разбиением R(X) множества X называется семейство его непустых непересекающихся подмножеств, в объединении дающая множество X, т.е. разбиение множества X есть множество такое, что: 1)
2)
3)
Например, для множества X ={1,2,3,4,5} можно построить разбиение , состоящее из двух элементов - они называются блоками разбиения, или - из четырех блоков; возможны и другие разбиения.
Покрытием множества X называется система его непустых подмножеств, в объединении дающая множество X. Здесь отсутствует слово “непересекающаяся” - т.е. блоки покрытия могут иметь общие элементы. Пример покрытия для множества X ={1,2,3,4,5}: .
Задача 1. Задано универсальное множество U ={1,2,3,4,5,6,7} и множества X ={2,4,6}, Y ={1,3,5,7}, Z ={2,3,5,6}. Выполнить действия: Построить булеан множества X, какое-либо разбиение множества Y, какое-либо покрытие множества Z.
Решение. Выполним операции над множествами в следующем порядке:
- по определению операции дополнения;
- по определению пересечения множеств;
- по определению объединения множеств.
Для построения булеана множества X воспользуемся двоичной записью числа. Если множество X содержит n элементов, его булеан содержит элементов – подмножеств множества Х (в нашем случае 8 подмножеств). Будем записывать номер подмножества трехразрядным двоичным числом от 0 до 7, включая в подмножество только те элементы, которым соответствуют единицы в записи двоичного числа. В табл.1.1 приведены построенные таким образом все подмножества множества X.
Таблица 1.1 Булеан множества X
Номер под-множества | Двоичная запись номера | Подмножества множества X ={2,4,6} |
{ }=Æ | ||
{ 6} | ||
{ 4 } | ||
{ 4,6} | ||
{2 } | ||
{2, 6} | ||
{2,4 } | ||
{2,4,6}= X |
Для множества Y построим разбиение из трех блоков где Проверим выполнение определения:
Для множества Z построим покрытие из двух блоков:
Здесь и следовательно, система - покрытие множества Z.
Операции над множествами так же, как операции в обычной алгебре, выполняются по законам (табл.1.2), которые доказываются на основе введенных выше определений.
Задача 2. Доказать закон дистрибутивности
(1.2)
Решение. Обозначим X левую часть равенства (1.2), Y - правую. Согласно определению (1.1) покажем, что выполняются одновременно
Пусть x - произвольная точка из Тогда по определению объединения множеств Далее по определению пересечения множеств Следовательно,
Таким образом, для любого выполняется т.е.
Докажем теперь, что Пусть y - произвольная точка из множества Тогда
В силу произвольности заключаем
Таким образом, и , следовательно X=Y, и закон дистрибутивности доказан.
Для упрощения записи формул договоримся о приоритете алгебраических операций: если в формуле нет скобок, то вначале выполняется операция дополнения, затем пересечения, объединения, разности. Например, в формуле действия будут выполняться так, как будто указаны скобки: - вначале пересечение, затем объединение, в последнюю очередь - разность.
Таблица 1.2 Законы алгебры множеств
№ | Формула | Название |
свойства пустого множества | ||
свойства универсального множества | ||
Закон коммутативности | ||
Закон ассоциативности | ||
Закон дистрибутивности | ||
Закон двойного дополнения | ||
Закон идемпотентности | ||
Закон де Моргана | ||
Закон поглощения |
Задача 3. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры множеств:
Решение. Выполним преобразования, указывая номер закона (табл.1.2) над знаком равенства:
а)
б)
в)
Ответ:
Дорогие ребята! Данные задания направлены на подготовку к проверочной работе по теме «Рельеф Земли».
1.Сопоставьте физическую карту и карту строение земной коры. Приведите не менее трех примеров на каждый из видов связи:
А) платформы – равнины
Б) область древней складчатости – низкие горы
В) область средней складчатости – средневысотные горы
Г) область новой складчатости – высокие горы
2. Если рельеф территории равнинный, то в основании находится:
а) складчатая область;
б) платформа.
3. Элемент земной коры, изображенный на рисунке, находится в основании:
а) Восточно-Европейской равнины;
б) Гималаев;
в) Скандинавских гор
4. В зоне расхождения литосферных плит формируются:
а) срединно-океанические хребты;
б) глубоководные желоба.
5. Рассмотри рисунок. На какой схеме изображены складчатые, а на какой складчато-глыбовые горы? На какой - старые, на какой молодые? Обоснуй свою точку зрения
6.В зоне столкновения литосферных плит формируются:
а) срединно-океанические хребты;
б) глубоководные желоба.
7. Как различают горы и равнины по высоте?
8. Через какие горы проведены показанные на рисунке профили? Определи примерную широту, по которой проходит каждый из них. Какие географические объекты (вершины, долины рек и др.) ты узнал?
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 446 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!