Модифицированный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию u (x) на рассчитываемом шаге. Для этого при разложении u (x) в ряд Тейлора учтем дополнительно слагаемое, содержащее h ² и в (3).

Графически модифицированный метод Эйлера представлен на рис. 2. Из рис. 2 видно, что поправка, учитывающая изменение наклона кривой u (x)заметно уменьшает ошибку на шаге h. Модифицированный метод Эйлера обеспечивает второй порядок точности. Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода пропорциональна h ³. Повышение точности достигается за счет дополнительных затрат машинного времени при расчете каждого шага.

Рис. 2. Модифицированный метод Эйлера

Дальнейшее снижение погрешности решения можно получить за счет использования лучшей аппроксимации u (x), учитывающей слагаемые высоких порядков. Эта идея положена в основу методов Рунге-Кутта.