Решение. По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат: a11 = 0,07; a12 = 0,14; a21 = 0,12; a22 = 0,10

Имеем x₁ = 100, x₂ = 150, x₁₁ = 7, x₁₂ = 21, x₂₁ = 12, x₂₂ = 15, y₁ = 72, y₂ = 123.

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат: a₁₁ = 0,07; a₁₂ = 0,14; a₂₁ = 0,12; a₂₂ = 0,10.

Т.е. матрица прямых затрат

|| 0,07 0,14 ||

A = || 0,12 0,10 ||

имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max {0,07 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)^-1 Y.

Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)^-1:

|| 0,93 - 0,14||

E - A = || - 0,12 0,90 ||.

Так как |E - A| = 0,8202, то

|| 0,90 0,14 ||

S = | E - A |-1 = 1 / 0,8202 || 0,12 0,93 ||.

По условию вектор конечного продукта:

|| 144 ||

Y = || 123 ||.

Тогда по формуле X = (E - A)-1 Y получаем вектор валового выпуска:

|| 0,90 0,14 || || 144 || = || 179,0 ||

X = 1 / 0,8202 || 0,12 0,93 || || 123 || = || 160,5 ||,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

Задача (для самостоятельного решения).

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли - на 20%.

Ответ: (945,6; 691,2)'.