Основы квазирелятивистской квантовой теории

Будем искать релятивистские поправки к нерелятивистской квантовой физике. В последовательной релятивистской квантовой теории возможны процессы рождения частиц, которые в рамках нашего курса не могут быть учтены, почему мы и говорим не о релятивистской квантовой теории, а о релятивистских поправках к нерелятивистской квантовой теории, или о квазирелятивистском приближении.

Дальше будет очень полезным следующий эвристический способ «вывода» уравнения Шредингера. Берем классический гамильтониан свободной частицы

H =

заменяем в нем классические величины по правилу

, p ® - i Ñ

и действуем полученными операторами на волновую функцию:

i y.

Ясно, что это уравнение не обладает свойством релятивистской инвариантности. При переходе к другой системе отсчета энергия и квадрат импульса преобразуются по-разному. В уравнении Шредингера стоит первая производная по времени, но вторые производные по координатам, а время и пространственные координаты в теории относительности должны быть формально равноправны.

Напомним основные положения специальной теории относительности (СТО). Пространство Минковского состоит из 4-векторов

= (x ⁰, x ¹, x ², x ³),

где

x ⁰ = c t, а { x ¹, x ², x ³} = x

есть обычный 3-вектор. Верхние индексы отвечают контравариантным компонентам векторов. Можно перейти к ковариантным векторам и наоборот по правилу

x _n = g _nl x ^l, x ⁿ = g ^nl x _l,

где g - метрический тензор:

g ^mn = g _nm = .

Скалярное произведение в пространстве Минковского вводится как

() = y ₀ x ⁿ = g _nl y ⁿ x ^l = g ^nl y _n x _l = x ⁰ y ⁰ - (x, y),

и оно является 4-скаляром, или инвариантом преобразований Лоренца. В частности, скалярный квадрат самого 4-вектора записывается как

()² = (x ⁰)² - x ².

Преобразования Лоренца есть как раз линейные преобразования, сохраняющие скалярные квадраты 4-векторов:

x ^¢m = L^m_n x ⁿ, ( ^¢, ^¢ ) = (, )

откуда нетрудно получить основное свойство матрицы Лоренца

L g L ^T = g.

Преобразования Лоренца описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой (вращения и движения, но не трансляции). В частности, если штрихованная система отсчета движется относительно исходной вдоль общей оси x ¹= x со скоростью V, то матрица Лоренца такова:

L = , b .

В СТО энергия E и импульс p объединяются в 4-вектор

= (p ⁰, p ¹, p ², p ³),

где

p ⁰ = , (p ¹, p ², p ³) = p.

При преобразованиях Лоренца

p ^m ® p ^¢m = L^m_n p ⁿ_.

Квадрат 4-импульса есть инвариант:

p ⁿ p _n = ()² - p ² = m² c ² = inv,

где m - масса частицы (в последовательной теории это есть ее определение!). Преобразование Лоренца сохраняет 4-скалярные произведения, в частности

p ^m x _m = p ^¢m x ^¢_m.

Вернемся к квантовой теории. Начали с подстановок

H ® i , p ® - i Ñ,

которые теперь можно объединить в ковариантную подстановку

p ^m ® i Ñ^m, Ñ^m º .

В частности, если взять релятивистское выражение для энергии

E =

и сделать в нем эти подстановки, получим нечто вроде релятивистского обобщения уравнения Шредингера

i y.

Но здесь непонятно, что такое корень из оператора. Правда, его можно попытаться разложить в ряд Тейлора, но тогда возникнут производные сколько угодно высокого порядка - тоже нехорошо. Связь с y(r) не будет локальной, и фактически выписанное уравнение, как можно показать, есть интегральное уравнение. От такого уравнения отказываемся, так как и соответствующая теория пока не построена (формально ее можно построить и некие ее результаты даже используются, но ничего хорошего на этом пути не получается).

Будем действовать по другому, исходя из выражения не для самой энергии, а для ее квадрата:

E ² = p ² c ² + m² c ⁴.