Модель экосистемы инновационного кластера

Не останавливаясь более на «идейных основах», перейдем к конструированию математической модели развития инновационного кластера. Основной целью моделирования является задача выяснения соотношения параметров, описывающих кластер, на скорость образования кластера, его жизнеспособность. А если быть точнее – насколько далеко можно отойти от классического примера Кремниевой долины, что бы кластер оставался жизнеспособным. При этом вопрос заключается в том, что мы в результате получим: по принципу «хотели как лучше…», и в результате вместо Кремниевой мы получим Кремлиевую долину?

Для создания модели будем опираться на систему уравнений взаимодействующих факторов, описывающую некую иерархическую социально-экономическую систему:

dX^α_k(t)/dt = K^α_k*(1– b_{k *}X^α_k) _* X^α_k + Σ’d^α_ki* X^α_i + Σ’g_k^α,δ _* X^δ_k+ Σ’Σ’ f_k,i^α,δ _*X^δ_{k *} X^α_i (1)

Где X^α_k – факторы, описывающие систему (индекс k – это тип фактора, индекс α – описывает географическую точку). Обоснование такой модели для конкретных систем содержится в той или иной мере во всех монографиях серии «Синергетика» и др. работах.[7]

Сами факторы можно разделить на два типа: факторы типа ресурсов, которые влияют на рост числа стартапов мультипликативно, т.е. при отсутствии ресурсов, рост числа стартапов обнуляется, последнее слагаемое в системе (1) описывает вклад «ресурсов» в «развитие системы». Ресурсы могут потребляться другими факторами, в этом случае возникает конкуренция за ресурсы. Ресурсы могут быть ограничены (естественным образом), в этом случае уравнения для факторов, описывающих ресурсы должны содержать «насыщение», т.е. ограничение на рост ресурсов, первое слагаемое в системе (1) как раз ответственное за такое поведение. В «живых» системах ресурсы всегда ограничены, по этой причине за счет масштабирования всегда можно свести интервал изменения ресурса в пределах от 0 до 1.

Другой тип факторов – аддитивные факторы, влияние их на рост числа стартапов происходит за счет аддитивного слагаемого, что означает, что зависимость от таких факторов не является критической – без них в системе будет наблюдаться рост, хотя и с меньшей скоростью.

Система (1) предполагает, что динамика факторов определяются самой системой, т.е. поведение факторов определяется их взаимодействием и взаимовлиянием и начальными условиями, т.е. все они являются эндогенными переменными. На практике полностью «замкнуть» систему, вообще говоря, невозможно. К примеру, при описании социально-экономических систем влиянием космических факторов придется пренебречь, либо учитывать их как экзогенные переменные. Экзогенные факторы - это факторы, которые можно считать заданными функциями времени. К таким факторам следует отнести фактор «финансирование инноваций со стороны государства». Для таких факторов вместо дифференциального уравнения будем иметь функциональные связи, как например, сумма всех расходов на поддержку инноваций равна некоторой заданной функции времени.

Кроме того, будем рассматривать только одну зону генерации стартапов, а именно - Сколково, тогда координатного индекса не будет, соответственно будет отсутствовать и градиентный член в (1) Σ’g_k^α,δ _* X^δ_k.

В качестве наиболее существенных факторов, влияющих на эффективность «экосистемы» стартапов и их рост выберем уже перечисленные выше «5 элементов»:

Ф₁ - Новаторский дух в предпринимательской среде.

Ф₂ - Университеты и исследовательские центры очень высокого уровня

Ф₃ - Достаточность венчурного капитала

Ф₄ – Развитый рынок услуг

Ф₅–Достаточность кадров в сфере высоких технологий (квалифицированная рабочая сила).

К этим, критически важным элементам, необходимо добавить факторы, учитывающие специфику России, а именно:

Ф₆ – Финансирование инноваций со стороны государства

Ф₇ – Инфраструктура территории (зоны)

Ф₈ – законодательная база (наличие налоговых льгот для инвестиционного капитала, защита авторских прав, отсутствие административных барьеров,….),

Ф₉ – мобильность труда.

Кроме того, следует добавить фактор, который позволит количественно описать развитие зоны, а именно: Ф₁₀ - число стартапов в зоне. Этот фактор суммирует эффективность развития всех других факторов.

Уравнение для Ф₁ должно учитывать критическую зависимость этого фактора от двух других факторов Ф₂ и Ф₃. Простейший вариант такой зависимости, одновременно учитывающий пороговый эффект (генерация стартапов начинается только, если выполняются условия: Ф₂ > Ф₂^min и Ф₃ > Ф₃^min имеет вид:

dФ₁(t)/dt = [K_1*(1– b_{1 *}Ф₁) + Σ’d_1,i* Ф_i ] _* [ (Ф₂ –Ф₂^min)*(Ф₃ -Ф₃^min)* Ф₁* Θ(Ф₂ –Ф₂^min) * Θ(Ф₃ -Ф₃^min)] (2)

Важнейшей количественной характеристикой зоны следует считать число успешных стартапов Ф₁₀. Если вернуться к обсуждению факторов влияния, то стоит обратить внимание на мнение многих аналитиков о схожести процесса созревания «экосистемы» с процессом создания критической массы для атомной бомбы. Следовательно, математическое описание такого процесса должно критическим образом воспроизводить такой пороговый эффект. Если еще раз обратиться к перечню факторов влияния, то очевидно, что большая часть из них может наращиваться шаг за шагом, т.е. постепенно. В то же время генерация стартапов начинается как бы внезапно и с большой интенсивностью.

Зависимость Ф₁₀ от «новаторского духа», по мнению экспертного сообщества, является ключевой: это следует понимать так, что прирост числа стартапов обращается в ноль вместе с Ф₁, никакого самоподдерживающегося роста «экосистемы» не будет, если Ф₁ = 0. Зависимость прироста стартапов от венчурного капитала Ф₃ и наличия в зоне «ботаников» также представляется весьма критичной, однако такая зависимость обеспечивается правильным поведением Ф₁. Мультипликативная зависимость dФ₁₀(t)/dt от Ф₁ обеспечивает и пороговый эффекты и критическую зависимость от Ф₂,Ф₃.

Математическая модель, воспроизводящая пороговое поведение Ф₁₀(t) и описывающая прирост Ф₁₀(t), обусловленный действием факторов Ф₁, Ф₂,Ф₃ должна выглядеть следующим образом:

dФ₁₀(t)/dt =K₁₀ *(1–b₁₀*Ф₁₀) *Ф₁₀*Ф₁ (3)

Это уравнение описывает рост стартапов, обусловленный эндогенными переменными (критическими факторами роста). Качественно это означает, что: во-первых, прирост стартапов тем больше, чем больше их количество, во-вторых, прирост стартапов прекращается, если отсутствует «новаторский дух» Ф₁ = 0, в-третьих, прирост стартапов начинается с момента, когда сумма венчурного капитала (минимально необходимый капитал для одного стартапа) и количество «ботаников» в зоне превышают пороговые значения.

Влияние остальных факторов не столь критично, т.е. они будут усиливать или ослаблять рост Ф₁₀, но не могут прекращать его полностью. Существенно на рост стартапов может повлиять государственное финансирование. Такую зависимость учтем добавлением аддитивных слагаемых в уравнение (3)

dФ₁₀(t)/dt = K₁₀ *(1–b₁₀*Ф₁₀) *Ф₁₀*Ф₁+ Σ’d_{10,i *} Ф_i (4)

В уравнении (4) в последнем слагаемом суммирование идет по всем i, кроме i =1,10. Данное уравнение учитывает влияние как экзогенных, так и эндогенных переменных. Например, даже при отсутствии необходимых условий «самоподдерживающегося развития», число стартапов может расти, при наличии финансирования инноваций со стороны государства (Ф₆ не обращается в ноль). Уравнение (4) явным образом не описывает пороговый эффект, связанный с постоянным финансированием инноваций со стороны государства: когда при достижении определенного уровня ВВП инновационной отрасли в системе возникает самоподдерживающееся развитие, в этом случае отпадает необходимость продолжения финансирования со стороны государства. Тем не менее, этот эффект будет содержаться в полной системе уравнений для всех факторов, где влияние финансирования инноваций со стороны государства будет входить во все уравнения роста факторов Ф_i . Полная система уравнений для системы описываемой факторами Ф_i имеет следующий вид:

dФ₁(t)/dt = [K_1*(1– b_{1 *}Ф₁) + Σ’d_1,i* Ф_i ] _* [ (Ф₂ –Ф₂^min)*(Ф₃ -Ф₃^min)* Ф₁ Θ(Ф₂ –Ф₂^min) Θ(Ф₃ -Ф₃^min)]

dФ₁₀(t)/dt =K₁₀ *(1–b₁₀*Ф₁₀) *Ф₁₀*Ф₁+ Σ’d_{10,i *} Ф_i (5)

dФ_k(t)/dt = K_k*(1– b_{k *}Ф_k) _* Ф_k + Σ’d_ki* Ф_i

В системе уравнений (5) индекс k пробегает значения от 2 до 9, суммирование по i в третьем уравнении системы (5) проходит по всем i, кроме i = k. Суммирование в последнем слагаемом второго уравнения системы (5) идет по всем кроме i, кроме i = 1,10. Система (5) описывает смешанный тип роста инновационного кластера: такой рост возможен как за счет государственного финансирования (Ф₆ > 0), так и самоподдерживающийся рост связанный с наличием достаточных условий такого роста.

Система (5) является системой нелинейных дифференциальных уравнений, она воспроизводит все качественные особенности роста «экосистемы» кластера. Первое уравнение системы (5) относится к типу уравнений, описывающих «каталитические реакции», в роли катализаторов выступают факторы Ф₂ и Ф₃ , рост одной из компонент (в данном случае Ф₁) системы возможет только при наличии двух других компонент, интенсивность которых превосходит некоторые пороговые значения.

Кроме того, в данной модели сохраняется возможность использовать определяемые из опросов экспертов значения коэффициентов матрицы взаимовлияния для вычисления коэффициентов матрицы взаимодействия d_ki в системе (5).

Таким образом, задача сводится к анализу поведения решений системы (5) в зависимости от начальных условий и значений параметров. Изучение всего множества решений системы (5) позволит указать те области параметров, где еще возможно устойчивое (или растущее) решение для Ф₁₀. Такие ограничения на параметры, по сути, позволяют указать (определить) целевые характеристики, необходимые для достижения эффекта самоподдерживающегося роста в проектируемой экосистеме Сколково. Эта задача и будет решаться в последующих публикациях.

[1] Работа поддержана грантом РГНФ № 10-02-00262.

[2] См. Лебре Э. Стартапы. Чему мы еще можем поучиться у Кремниевой долины. – М.: Изд. Дом ООО «Корпоративные издания», 2010.

[3] Рынок нано: от нанотехнологий - к нанопродуктам. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.

[4] См. Лебре Э. Стартапы. Чему мы еще можем поучиться у Кремниевой долины. – М.: Изд. Дом ООО «Корпоративные издания», 2010.

[5] Лебре Э. Стартапы. Чему мы еще можем поучиться у Кремниевой долины. – М.: Изд. Дом ООО «Корпоративные издания», 2010.

[6] Частично результаты частично заимствованы из работы Лебре Э. Стартапы. Чему мы еще можем поучиться у Кремниевой долины. – М.: Изд. Дом ООО «Корпоративные издания», 2010.

[7] См.: Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. Серия Синергетика: от прошлого к будущему. – М., 2009; Хакен Г. Информация и самоорганизация. Серия Синергетика: от прошлого к будущему. – М., 2005; Жулего В.Г. Алгоритм построения математических моделей для описания сложноорганизованных иерархических социально-экономических систем на основе матрицы взаимовлияния // Материалы Всероссийской научной конференции «Футурологический конгресс: будущее России и мира». – М., 2010.