n₂ = élog₂ Nù== élog₂ 50ù=6.

Лабораторная работа № 5

«Исследование методов эффективного кодирования дискретных источников информации»

При кодировании дискретных источников информации часто решается задача уменьшения избыточности, т.е. уменьшения количества символов, используемых для передачи сообщения по каналу связи. Это позволяет повысить скорость передачи за счет уменьшения количества передаваемой информации, а точнее, за счет отсутствия необходимости передачи избыточной информации. В системах хранения уменьшение избыточности позволяет снизить требования к информационной емкости используемой памяти.

Для передачи и хранения информации, как правило, используется двоичное кодирование. Любое сообщение передается в виде различных комбинаций двух элементарных сигналов. Эти сигналы удобно обозначать символами 0 и 1. Тогда кодовое слово будет состоять из последовательностей нулей и единиц.

Если алфавит A состоит из N символов, то для их двоичного кодирования необходимо слово разрядностью n, которая определяется

n = élog₂ Nù.

Это справедливо при использовании стандартных кодовых таблиц, например, ASCII, KOI-8 и т.п., обеспечивающих кодирование до 256 символов.

Если в используемом алфавите символов меньше, чем используется в стандартной кодовой таблице, то возможно использование некоторой другой таблицы кодирования, позволяющей уменьшить количество двоичных разрядов, используемых для кодирования любого символа. Это, в определенном смысле, обеспечивает сжатие информации.

Например, если необходимо передавать или хранить сообщение, состоящее из символов кириллицы, цифр и семи символов разделителей {«.», «,», «:», «;», «!», «кавычки», «?»} (всего 50 символов), мы можем воспользоваться способами кодирования:

· Кодировать каждый символ в соответствии со стандартной кодовой таблицей, например, KOI-8R. По этой таблице каждый символ будет представляться 8 битовым (байт) кодовым словом, n₁ = 8;

· Составить и использовать отдельную кодовую таблицу, это может быть некоторый усеченный вариант стандартной таблицы, не учитывающую возможность кодирования символов, не входящих в передаваемое сообщение, тогда необходимый размер кодового слова

n₂ = élog₂ Nù== élog₂ 50ù=6.

Очевидно, передача сообщения с помощью такого кода будет более эффективной, т.к. будет требовать меньшего количества бинарных сигналов при кодировании. Можно говорить о том, что при таком кодировании мы не передаем избыточную информацию, которая была бы в восьмибитовом кодировании;

· Использовать специальный код со словом переменной длины, в котором символы, появляющиеся в сообщении с наибольшей вероятностью, будут закодированы короткими словами, а наименее вероятным символам сопоставлять длинные кодовые комбинации. Такое кодирование называется эффективным.

Эффективное кодирование базируется на основной теореме Шеннона для каналов без шума, в которой доказано, что сообщения, составленные из букв некоторого алфавита, можно закодировать так, что среднее число двоичных символов на букву будет сколь угодно близко к энтропии источника этих сообщений, но не меньше этой величины.

Теорема не указывает конкретного способа кодирования, но из нее следует, что при выборе каждого символа кодовой комбинации необходимо стараться, чтобы он нес максимальную информацию. Следовательно, каждый элементарный сигнал должен принимать значения 0 и 1 по возможности с равными вероятностями и каждый выбор должен быть независим от значений предыдущих символов.

При отсутствии статистической взаимосвязи между кодируемыми символами конструктивные методы построения эффективных кодов были даны впервые К. Шенноном и Н. Фано. Их методики существенно не различаются, поэтому соответствующий код получил название кода Шеннона-Фано.

Код строится следующим образом:

буквы алфавита сообщений выписываются в таблицу в порядке убывания вероятностей. Затем они разделяются на две группы так, чтобы суммы вероятностей в каждой из групп были по возможности одинаковы. Всем буквам верхней половины в качестве первого символа приписывается 1, а всем нижним — 0. Каждая из полученных групп, в свою очередь, разбивается на две подгруппы с одинаковыми суммарными вероятностями и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока в каждой подгруппе останется по одной букве.

Рассмотрим алфавит из восьми букв (табл. 1). Ясно, что при обычном (не учитывающем статистических характеристик) кодировании для представления каждой буквы требуется n₂ =3 символа. В табл.1 приведен один из возможных вариантов кодирования по сформулированному выше правилу.

Таблица 1
Символы	Вероятности p(ai)	Кодовые комбинации	1 ступень	2 ступень	3 ступень	4 ступень	ступень
a1	0.22
a2	0.20
a3	0.16
a4	0.16
a5	0.10
a6	0.10
a7	0.04
a8	0.02

Очевидно, для указанных вероятностей можно выбрать другое разбиение на подмножества не нарушая алгоритма Шеннона-Фано. Такой пример приведен в табл.2.

Сравнивая приведенные таблицы, обратим внимание на то, что по эффективности полученные коды различны. Действительно, в табл.2 менее вероятный символ a₄ будет закодирован двухразрядным двоичным числом, в то время как a₂, вероятность появления которого в сообщении выше, кодируется трехразрядным числом.

Таким образом, рассмотренный алгоритм Шеннона-Фано не всегда приводит к однозначному построению кода. Ведь при разбиении на подгруппы можно сделать большей по вероятности как верхнюю, так и нижнюю подгруппу.

Таблица 2
Символы	Вероятности p(ai)	Кодовые комбинации	1 ступень	2 ступень	3 ступень	4 ступень	ступень
a1	0.22
a2	0.20
a3	0.16
a4	0.16
a5	0.10
a6	0.10
a7	0.04
a8	0.02

Энтропия набора символов в рассматриваемом случае определяется как

Напомним, что смысл энтропии в данном случае, как следует из теоремы Шеннона, – наименьшее возможное среднее количество двоичных разрядов, необходимых для кодирования символов алфавита размера восемь с известными вероятностями появления символов в сообщении.

Мы можем вычислить среднее количество двоичных разрядов, используемых при кодировании символов по алгоритму Шеннона-Фано

(1)

где:

A – размер (или объем) алфавита, используемого для передачи сообщения;

n(a_i) – число двоичных разрядов в кодовой комбинации, соответствующей символу a_i.

Таким образом, мы получим для табл.1 I_ср =2,84, а для табл.2 I_ср =2,80. Построенный код весьма близок к наилучшему эффективному коду по Шеннону, но не является оптимальным. Должен существовать некоторый алгоритм позволяющий выполнить большее сжатие сообщения.

От недостатка рассмотренного алгоритма свободна методика Д. Хаффмена. Она гарантирует однозначное построение кода с наименьшим для данного распределения вероятностей средним числом двоичных разрядов на символ.

Для двоичного кода алгоритм Хаффмана сводится к следующему:

Шаг 1. Символы алфавита, составляющего сообщение, выписываются в основной столбец в порядке убывания вероятностей. Два последних символа объединяются в один вспомогательный, которому приписывается суммарная вероятность.

Шаг 2. Вероятности символов, не участвовавших в объединении, и полученная суммарная вероятность снова располагаются в порядке убывания вероятностей в дополнительном столбце, а две последних объединяются. Процесс продолжается до тех пор, пока не получим единственный вспомогательный символ с вероятностью, равной единице.

Эти два шага алгоритма иллюстрирует табл.3 для уже рассмотренного случая кодирования восьми символов.

Шаг 3. Строится кодовое дерево и, в соответствии с ним, формируются кодовые слова, соответствующие кодируемым символам.

Поясним принципы выполнения последнего шага алгоритма. Для составления кодовой комбинации, соответствующей данному сообщению, необходимо проследить путь перехода сообщений по строкам и столбцам таблицы. Для наглядности строится кодовое дерево (рис.1). Из точки, соответствующей вероятности 1, направляются две ветви. Ветви с большей вероятностью присваивается символ 1, а с меньшей – символ 0. Такое последовательное ветвление продолжаем до тех пор, пока не дойдем до каждого символа.

Таким образом, символам источника сопоставляются концевые вершины дерева. Кодовые слова, соответствующие символам, определяются путями из начального узла дерева к концевым. Каждому ответвлению влево соответствует символ 1 в результирующем коде, а вправо – символ 0.

Поскольку только концевым вершинам кодового дерева сопоставляются кодовые слова, то ни одно кодовое слово не будет началом другого. Тем самым гарантируется возможность разбиения последовательности кодовых слов на отдельные кодовые слова.

Рис.1. Кодовое дерево

Теперь, двигаясь по кодовому дереву сверху вниз, можно записать для каждой буквы соответствующую ей кодовую комбинацию:

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8

Покажем, что использованный алгоритм позволяет однозначно декодировать полученное сообщение.

Пусть передаваемое сообщение a_1, a_5, a_3, a_7, a_8. В результате кодирования по алгоритму Хаффмана получим следующую кодовую последовательность:

011001111010110100.

При приеме неизвестно, каким образом эту последовательность надо разбить на кодовые слова и, соответственно, получить последовательность переданных символов.

Просматриваем принятую последовательность слева направо, учитывая, что наибольшая длина кодового слова равна 5. Из первых пяти принятых элементов следует, что комбинация 01100 не встречается ни в одном кодовом слове. Единственным правильным решением будет, что первым был передан символ a_1. Аналогично, продолжая просмотр с третьего слева элемента, определяем второй символ - a₅. Аналогично декодируем все сообщение -. a_1, a_5, a_3, a_7, a₈.

Таким образом, в передаваемой последовательности нет необходимости указывать разделители между отдельными кодовыми словами.