Теоретичні положення. 1.Основи булевоъ алгебри.Математичний апарат, що описує роботу дискретних пристроїв, базується на алгебрі логiки

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5

1.Основи булевоъ алгебри. Математичний апарат, що описує роботу дискретних пристроїв, базується на алгебрі логiки, або булевiй алгебрі (Джордж Буль, 1815-1864 р., англiйський математик). Булева алгебра оперує двiйковими змiнними, якi умовно позначаються 0 I 1. В її основi лежить поняття булевої функцiї, функцiї виду f(x1,x2,...,xn) стосовно арґументiв x1,x2,...,xn, яка, як i її арґументи, може набувати тiльки два значення - 0 i 1. Логiчна функцiя може бути задана алгебраїчним виразом або таблицею, яка називається таблицею iстинностi.

Дiї над двiйковими змiнними вiдбуваються за правилами виконання логiчних операцiй. Найпростiших логiчних операцiй є три: заперечення (або iнверсiя, або операцiя НІ), лог i чне множення (або кон'юнкцiя, або операцiя I) та лог i чне додавання (або диз'юнкцiя, або операцiя АБО). Cкладнiші логiчнi перетворення можна звести до вказаних операцiй.

Операцiя заперечення виконується над однiєю змiнною та характеризується такими властивостями: функцiя y =1, якщо арґумент x =0, i y =0, якщо x =1. Заперечення позначається рискою над змiнною, з якою проводиться операцiя: y = x. Вiдповiдно y = x. Операцiя логiчного множення (кон'юнкцiя) для двох змiнних описана у табл.1.1 та позначається y = x1 • x2. Нульове значення одного з арґументiв забезпечує нульовий результат операцiї.

Операцiя логiчного додавання (диз'юнкція) для двох змiнних описана табл.1.2 та позначається y = x1 + x2. Рiвнiсть хоча б одного арґумента логiчнiй одиницi визначає одиничне значення всiєї функцiї.

Диз'юнкцiя та кон'юнкцiя може здiйснюватися з багатьма змiнними. Сукупнiсть рiзних значень змiнних називається набором. Булева функцiя n арґументiв може мати до N=2n наборiв. Оскiльки функцiя набуває тiльки два значення, то

загальне число булевих функцiй n арґументiв дорiвнює

2^N= 2²ⁿ. Два арґументи дають 16 значень функцiї (табл.1.3). Закони булeвої алгебри випливають з аксiом та мають двi форми вираження: (табл. 1.2.(а))

КНФ - кон'юнктивна нормальна форма та ДНФ - диз'юнктивна нормальна форма[3].

Таблиця 1.2.(а). Закони алгебри логіки

Двійкові змінні, які входять в логічні рівняння, можна задати двома різними електричними сиґналами. Шляхом перетворення цих сиґналів одержують інші, також двійкові сиґнали, які відповідають результатам певних логічних операцій.

Входи та виходи логічних елементів, залежно від рівня сиґналу, при якому виробляються певні значення двійкової змінної, поділяються на прямі та інверсні. На прямому вході (виході) двійкова змінна має значення логічної «1», коли сиґнал на цьому вході (виході) має значення, яке було прийняте за 1. На інверсному вході (виході) двійкова змінна має значення логічної «1», коли рівень сиґналу на цьому вході (виході) відповідає стану, який був прийнятий за 0.

Різні логічні елементи виготовляються як у вигляді окремих мікроелектронних виробів, так i у складі складніших пристроїв. Інформація про деякі з них є у табл. 1.4