Критические точки и точки экстремума функции

Определение 1. Точки экстремума функции – точки минимума и максимума функции.

Определение 2. Точка х = х ₀ называется точкой максимума (max) функции f (х), если существует δ-окрестность этой точки х ₀, в которой выполняется неравенство f (x) < f (х ₀) для всех точек х ≠ х ₀ из этой окрестности.

Определение 3. Точка х = х ₀ называется точкойминимума (min) функции f (x), если существует δ-окрестность этой точки х ₀, в которой выполняется неравенство f (х) > f (х ₀) для всех точек х ≠ х ₀ из этой окрестности.

На рис. 7 х ₁ – точка min, х ₂ – точка max.

Рис. 7

Определение 4. Значение функции в точке max (min) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум или минимум функции называется экстремумом (extr) функции.

Понятие экстремума связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум только во внутренних точках области определения.

Рассмотрим условия существования extr функции.

Теорема 1. (теорема Ферма) (необходимое условие точки extr). Если дифференцируемая функция f (х) имеет экстремум в точке х ₀, то ее производная в этой точке равна нулю: f’ (х ₀) = 0.

Доказательство. Пусть, для определенности, х ₀ – точка max. Значит, в окрестности точки х ₀ выполняется равенство f (х ₀) > f (х ₀+Δ x) или f (х ₀+Δ x) – f (х ₀) < 0. Тогда, если Δ x > 0, то ,

если Δ x < 0, то . По условию теоремы существует производная . Переходя к пределу при Δ x → 0, в случае Δ x > 0 получим f’ (х ₀) ≤ 0, а при Δ x < 0 получим f’ (х ₀) ≥ 0.

Поэтому f’ (х ₀) = 0.

Аналогично доказывается утверждение теоремы, если х ₀ – точка min.

Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.

Замечание 1. Обратное утверждение теоремы Ферма неверно, т.е. если f’ (х ₀) = 0, то это не значит, что х ₀ – точка экстремума.

Например, для функции y = x ³ ее производная y' = 3 x ² равна нулю при x = 0 (в этой точке касательная к графику горизонтальна), но x = 0 не является точкой extr (рис. 5).

Замечание 2. Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.

Например, непрерывная функция y = | x | в точке x = 0 производной не имеет, хотя это точка min (рис. 8).

Рис. 8

Определение 5. Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует, называются критическими.

С использованием этого термина можно обобщить теорему Ферма: всякая точка экстремума функции является ее критической точкой (в ней производная равна нулю или не существует).

Обратное утверждение ложно, т.е. не всякая критическая точка является точкой extr.

Например, для функций y = x ³ (рис. 3) и у = 2 x + | х | (рис. 2) точка х = 0 является критической, но не является точкой extr.

На рис. 9 на отрезке [ a, b ] представлены семь критических точек: x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅, x ₆, x ₇. Из них только две (x ₃ и x ₆) не являются точками extr.

Рис. 9

Точки x ₁, x ₄, x ₇ – точки max; точки x ₂, x ₅ – точки min.

В точках extr х ₂ и х ₄ касательные к графику параллельны оси Ох (производные равны нулю). В точках экстремума x ₁, x ₅, x ₇ график имеет изломы (производные в этих точках не существуют).

Так как точки extr лежат внутри области определения функции, то их еще называют локальный максимум и локальный минимум.

Определение 6. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

На рис. 9 три стационарных точки: x ₂, x ₃, x ₄.

Например, для функции y = x ³ (рис. 3) точка х = 0 является стационарной, а для функций у = 2 x + | х | (рис. 2) или у = | х | (рис. 8) – нет.

Согласно 2-й теоремы Вейерштрасса, непрерывная на замкнутом интервале функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

На рис. 9 точки x = x ₄ и х = b являются глобальным максимумом и глобальным минимумом (наибольшим и наименьшим значением) f (x) на замкнутом интервале [ а, b ]. Глобальный максимум совпадает с локальным в точке х = х ₄, а глобальный минимум – с концом интервала x = b.