Уравнение Клейна-Гордона

1. Визначити свій варіант перемикальної функції. Для цього необхідно номер варіанта перевести в двійкову систему числення і записати 3 його молодших розряди у вигляді слова h ₃ h ₂ h₁. Значення h_i підставити в табл.1. Наприклад, якщо номер варіанта 19 (у двійковій системі 10 011), то h ₃=0, h ₂=1, h ₁=1.

Таблиця1.

x1	x2	x3	y
			h3
			h2
			h1

2. Знайти досконалу ДНФ функції і її заперечення.

3. Мінімізувати функцію використовуючи закони алгебри логіки та карт Карно для трьох змінних.

4. Представити функцію в базисах І-НЕ та АБО-НЕ нормальних формах.

5. Побудувати функціональну схему отриманої функції у відповідному базисі(див. п.4)

Л Е К Ц И Я 15

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Делая в этом выражении подстановки

E ® i , p ® - i Ñ,

получим

- = (- c ^{2 2} Ѳ + m² c ⁴)y = 0

или

Ñ ²y - y = 0.

Вводя инвариантный оператор Даламбера

ð = ,

запишем уравнение в явно ковариантной форме

ðy + ()²y = 0

К нему можно прийти и из ковариантного соотношения

p ² = p ⁿ p _n = m² c ²,

делая в нем подстановки

p ⁿ ® - i º - i Ñⁿ.

Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется уравнение Клейна-Гордона.

Умножая слева на y^*, а сопряженное уравнение слева на y и производя вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности

+ div j = 0,

выражающее некий закон сохранения, в котором

и

.

Можно поступить иначе: умножить на y^*, а сопряженное уравнение на y и вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме

Ñ^m j _m = 0,

где

j _m = y^*Ñ_my - yÑ_my^*.

Расписывая по компонентам, получим те же результаты.

Вектор j получился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там плотность вероятности была

r = |y|² º y^*y,

а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое r можно интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит. Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо задать 2 начальных условия - для y и . И их всегда можно подобрать так, что будет r<0. Мало того, если при t =0 r>0, то по истечении времени может быть как r>0, так и r<0, т.е. плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому смыслу быть положительно определенной.

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения

,

где в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным уравнением. Здесь a₁, a₂, a₃ и b - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что не может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем y многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):

y = .

Поэтому на самом деле нужно писать не y, а y_s(r, t), и отсюда уже почти ясно, что a _j и b должны быть не обычными числами, а матрицами.

Каждый компонент y_s должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона

- ,

так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между p и Е. Это сейчас позволит нам найти коэффициенты a _j, b. Для этого берем уравнение

и действуем на обе его части оператором = :

( = ().

Подставляя явное выражение и производя аккуратно (с учетом возможной некоммутативности a _j и b) перемножение, получим

-

(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ, необходимо потребовать

a _i a _j + a _j a _I = 2d _ij, a _i b + ba _I = 0, b² =1. (***)

Отсюда уже абсолютно ясно, что a _j, b - матрицы, а потому - матричный (и дифференциальный) оператор. Поскольку должен быть эрмитовым оператором, то a _j, b-квадратные матрицы, причем порядка N ´ N, где N - число компонентов у y_s. Система уравнений (***) неразрешима при слишком малых N (=1,2,3). Минимальное N, при котором система перестает быть переопределенной, есть N =4 (вообще можно доказать, что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N есть N =16). Одно из возможных решений таково:

a _i = , b = ,

где s _i - матрицы Паули:

s₁= , s₂= , s₃= ; I= .

Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.

Итак, получаем уравнение Дирака

+bm c ²y,

где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (***), и один из наборов выписан явно выше. Функция y на самом деле есть 4-компонентный столбец

y(r, t) = ,

и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:

+bm c ²y_s

На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций y_s.

Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить обе его части слева на b и ввести новые матрицы 4´4

g⁰ = b, g ^j = ba _j = g⁰a _{j ,}

удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям

g^m gⁿ + gⁿg^m = 2 g ^mn.

Тогда получим

i gⁿ y = 0.

Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской инвариантности.

Введем сопряженную функцию

y⁺ = (y₁^*,y₂^*,y₃^*,y₄^*),

которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:

- a _j + bm c ²y⁺.

Умножая уравнение Дирака слева на y⁺, а сопряженное справа на y, найдем

i y⁺ a _j y⁺ + bm c ²y⁺y.

и

- i y a _j y + bm c ²y⁺y

Производим вычитание

(y⁺a _j y).

В итоге получаем уравнение непрерывности

+ div j = 0,

где

r = y⁺y, j = c y⁺ a y [ a º ( a₁, a₂, a₃)].

Величина r положительно определена:

r = êy₁ê² + êy₂ê² + êy₃ê² + êy₄ê²

и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности, только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит пространственных координат.

Будем искать решение уравнения Дирака в виде

y _{E p} (r, t) = w (E, p) ; w º .

Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц a _j и b, получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений

Eu = c (sp) v + m c ² u

Ev = c (sp) u - m c ² v,

где

s = {s₁, s₂, s₃}, sp = s₁ p ¹ + s₂ p ² + s₃ p ³ = s_j p ^j.

Условие нетривиальной разрешимости дает

= 0

откуда

Е ² - m² c ⁴ - c ²(sp)² = 0.

Раскрываем

(sp)² = (sp)(sp) = s _jp^j s _kp^k = (s _j s _k)(p_jp_k).

Учитывая, что

s _j s _k = 0 (j ¹ k), (s _j)² = I,

получим

(sp)² = p ²,

и условие разрешимости запишется как

Е ² - m² c ⁴ - c ² p ² = 0.

Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при

Е = º ±e _p,

а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба знака!).

Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е =e _p задает u произвольно, тогда из второго

v = u.

Но само u содержит две линейно независимые функции:

u (p) = u ₀₁(p) + u ₀₂(p) = .

Поэтому находим при Е =e _p >0:

w _+l = , (l = 1,2).

Вторую пару решений получим при Е = -e _p < 0. Теперь будем считать заданным

v (p) = v₀₁ (p) = v₀₂ (p) =

и из первого уравнения системы получим

u = - v.

Поэтому находим при Е = -e _p < 0:

w_{- l}(p) = .

Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют разные решения, являются знак энергии (+ и -), а также величина l. Ее значения l=1, 2 нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной волновой функции.