Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке.

Пусть на некотором промежутке X определена функция f (x) и точка х ₀ принадлежит этому промежутку.

Определение 1: Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.

Это означает выполнение трёх условий:

функция f (x) определена в точке х ₀ и в её окрестности;

функция f (x) имеет предел, при х ® х ₀;

предел функции в точке х ₀ равен значению функции в этой точке.

Итак, при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно в функцию f (x) вместо аргумента x подставить его предельное значение х ₀.

Определение 2: «на языке последовательностей» Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если для любой последовательности значений аргумента х: х ₁, х ₂, …, х_n,..., сходящейся к х ₀, последовательность соответствующих значений функции f (x): f (x ₁), f (x ₂), …, f (x_n),..., сходится к f (x ₀).

Определение 3: «на языке e-d» Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если для любого e >0 существует d >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству | х — х ₀|< d, выполняется неравенство | f (x)- f (x ₀)|< e.

Определение 4: Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀ справа (слева) если односторонний предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.

Если функция непрерывна точке х ₀ и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Из определения 1 следует следующее:

Определение 5: Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀ если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при D х ®0

Все определения непрерывности равносильны.

Теорема 1: Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х ₀. Тогда функции f (x)± g (x), f (x)· g (x), f (x)/ g (x) также непрерывны в этой точке (последняя при g (х ₀)¹0).

Теорема 2: (о непрерывности сложной функции) Пусть функция z = j (x) непрерывна в точке х ₀, а функция y = f (z) непрерывна в точке z ₀= j (х ₀). Тогда сложная функция у = f [ j (х)] непрерывна в точке х ₀.