Возрастание (убывание) функции. Экстремумы

Теорема (правило Лопиталя): Пусть функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а и g ¢(х)¹0. Пусть в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула:

Замечание 1: Правило Лопиталя раскрывает неопределённости типа и .

Замечание 2: Правило Лопиталя может применяться многократно

Замечание 3: Правило Лопиталя применяется и для х ®¥, х ®+¥, х ®-¥, х ® х ₀-0, х ® х ₀+0.

Возрастание (убывание) функции. Экстремумы.

Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f (х) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(х)≥0 (f ¢(х)≤0) на (a, b), то функция f (x) не убывает (не возрастает) на (a, b).

Теорема 2 (признак возрастания (убывания)): Если функция f (х) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(х)>0 (f ¢(х)<0) на (a, b), то функция f (x) возрастает (убывает) на (a, b).

Определение 1: Точка х ₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (х), если для всех х из некоторой d -окрестности точки х ₀ выполняется неравенство f (x)< f (х ₀) (f (x)> f (х ₀)) при, х ≠ х ₀.

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство f (x)< f (х ₀) (f (x)> f (х ₀)) не обязано выполняться для всех значении х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки х ₀. Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причём может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Замечание: Если в определении знаки строгих равенств заменить на нестрогие, то получим точки нестрогого экстремума.

Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума): Если функция f (х) имеет в точке х ₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f ¢(х ₀)=0.

Замечание: Если х ₁, х ₂, и х ₃ — точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Иногда такие точки называют стационарными (критическими); мы будем называть их точками возможного экстремума. Если точка х ₀ — точка возможного экстремума, т. е. f ¢(х ₀)=0, то она может и не быть точкой локального максимума (минимума).

Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума): Пусть функция f (х) дифференцируема в некоторой d -окрестности точки х ₀. Тогда, если f¢ (x)< f¢ (х ₀) (f¢ (x)> f¢ (х ₀)) для всех х из (х ₀- d, х ₀), а f¢ (x)> f¢ (х ₀) (f¢ (x)< f¢ (х ₀)) для всех х из (х ₀, х ₀+ d), то в точке х ₀ функция f (х) имеет локальный максимум (минимум), если же f¢ (х) во всей d -окрестности точки х ₀ имеет один и тот же знак, то в точке х ₀ локального экстремума нет.

Другими словами, если f¢ (x) при переходе через точку х ₀ меняет знак с «+» на «-», то х₀ — точка локального максимума, если f¢ (x) в точке х ₀ меняет знак с «-» на «+», то х ₀ — точка локального минимума, если же знак f¢ (x) в точке х ₀ не изменяется, то в точке х ₀ экстремума не существует.

Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума): Если в точке х ₀

первая производная функции равна нулю f¢ (х ₀)=0,

а вторая производная существует и отлична от нуля f ²(x)¹0, то при

f ²(x)>0 в точке х ₀ – функция имеет минимум,

f ²(x)<0 в точке х ₀ – функция имеет максимум.