Форми подання чисел у різних системах числення

Системою числення називається спосіб зображення чисел за допомогою обмеженого набору символів, що мають визначені кількісні значення.

Систему числення утворює сукупність правил і прийомів подання чисел за допомогою набору знаків (цифр).

Подання чисел у різних системах числення допускає однозначне перетворення їх з однієї системи в іншу. В ЕОМ переклад з однієї системи числення в іншу здійснюється автоматично за допомогою спеціальних програм. Правила перекладу цілих і дробових чисел відрізняються.

Розрізняють позиційні і непозиційні системи числення. У позиційних системах кожна цифра числа має визначену вагу, що залежить від позиції цифри в послідовності, що зображує число. Позиція цифри називається розрядом. У позиційній системі числення будь-яке число можна подати у вигляді

A = a_{m- 1} a_m-2…a_ia _{0 ,} a_{- 1} a_{- 2} …a_-k = a_{m- 1} *N^{m- 1} +a_{m- 2} *N^{m- 2} +…+a_-k*N^-k , (16.1)

тобто = ,

де a_і – і- а цифра числа; k – кількість цифр у дробовій частині числа; m – кількість цифр у цілій частині числа; N – основа системи числення.

Основа системи числення N показує, у скільки разів "вага" і -го розряду більша "ваги" (і – 1) ‑го розряду. Ціла частина числа відокремлюється від дробової частини крапкою (комою).

Ціла частина числа A_N1, з основою N 1, переводиться в систему числення з основою N 2 шляхом послідовного ділення цілої частини числа A_{N 1} на записану у вигляді числа з основою N 1 основу N 2 до одержання залишку. Отримана частка знову ділиться на основу N 2, і цей процес треба повторювати доти, доки частка не стане менше дільника. Отримані залишки від ділення й остання частка записуються в порядку, зворотному отриманому при діленні. Сформоване число і буде цілим числом з основою N 2.

Дробова частина числа A_{N 1}, з основою N 1, переводиться в систему числення з основою N 2 шляхом послідовного множення дробової частини числа A_{N 1} на основу N 2, записану у вигляді числа з основою N 1. При кожному множенні ціла частина добутку береться у вигляді чергової цифри відповідного розряду, а дробова частина, що залишилася, приймається за нове множене. Число множень визначає розрядність отриманого результату, що подає дробову частину числа A_{N 1} у системі числення N 2. Дробова частина числа при переводі часто подається неточно.

В усіх сучасних ЕОМ для подання числової інформації використовується двійкова система числення, в якій число зображується за допомогою цифр {0,1}. Це обумовлено:

· більш простою реалізацією алгоритмів виконання арифметичних і логічних операцій;

· більш надійною фізичною реалізацією основних функцій, тому що в них мають місце усього два стани (0 і 1);

· економічністю апаратурної реалізації всіх схем ЕОМ.

У шістнадцятковій системі числення для подання числа передбачені цифри та букви – {0, 1, 2,..., 9, А, В, С, D, Е, F }, де буквою А позначається “цифра” 10, буквою В – “цифра” 11,..., буквою F – “цифра” 15.

У вісімковій системі числення для подання числа передбачені вісім цифр – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Вона широко використовується в багатьох спеціалізованих ЕОМ.

Вісімкова і шістнадцяткова системи числення є похідними від двійкової системи, тому що 16 = 2⁴, а 8 = 2³. Вони використовуються в основному для більш компактного зображення двійкової інформації, тому що запис значення чисел досягається істотно меншим числом цифр.

У двійково-десятковій системі числення кожній десятковій цифрі відповідає особиста сукупність чотирьох бітів у двійковій системі числення.

Якщо число А, записане в двійковій системі числення, розбити на тріади (по 3 біти) і кожну тріаду записати в десятковій системі числення, то ми отримаємо запис числа А у вісімковій системі числення.

Якщо число А, записане в двійковій системі числення, розбити на тетради (по 4 біти) і кожну тетраду записати в десятковій системі числення, то ми отримаємо запис числа А в шістнадцятковій системі числення.

Кожний розряд числа, записаного в N -ковій системі числення, має свою вагу. Наприклад, вага розрядів для двійкової системи числення наступна: