4 страница. условиями т р а н с в е р с а л ь н о с т иУсловия трансверсальности.Поскольку состояние системы не фиксировано (x(tf)ÎEf)

условиями т р а н с в е р с а л ь н о с т и Условия трансверсальности. Поскольку состояние системы не фиксировано (x(t_f)ÎE_f), то условия трансверсальности позволяют сформировать дополнительные ограничения для однозначного решения задачи оптимального управления и нахождения оптимального состояния системы в конечный момент времени.

32. Динамические системы, состояние которых изменяется в дискретные моменты времени, называются р е к у р р е н т н ы м и динамическими системами или системами с дискретным временим. Процессы изменения состояния и управления в таких системах называются м н о г о ш а г о в ы м и процессами. Рекуррентные динамические системы. Изменение состояния непрерывной автономной динамической системы описывается системой дифференциальных уравнений вида = j (x, u), tÎ(t_o,t_f]. Задача оптимального управления,поставленная для непрерывных систем, может быть переписана для рекуррентных систем

J(x,u) = F(x(k),u(k)) ® min

x(k+1) = f(x(k),u(k)), k = 0,...,N-1,

u(k) Î G_u Í R^m, k = 0,...,N-1,

x(0) = x_o, x(N) = x_f. Дискретный принцип максимума. В задачах оптимального непрерывного управления решение в любой момент времени находится на основе поиска максимума функции Гамильтона. В задачах оптимизации управления рекуррентными динамическими системами можно показать, что функция Гамильтона вдоль оптимальной траектории отличается от своего максимального значения на величину порядка O(t), где t³ max(t_i -t_j),"_i,j Î {0,...,N}. Таким образом, при увеличении шага дискретизации значение функции Гамильтона все больше отличается от своего максимального значения, и естественно предполагать, что для произвольных разностных уравнений принцип максимума вообще не имеет места. В дискретном принципе максимума появляется дополнительное условие.

33. Эффективность различных вычислительных методов и алгоритмов оптимального управления, реализующих методы поиска оптимального решения, определяется, прежде всего, временем счета и потребным объемом памяти электронной вычислительной машины, необходимого для хранения промежуточных данных вычислений. Прямые методы. Под прямыми методами решения задач оптимального управления в настоящее время принято понимать методы, не использующие непосредственно необходимых или достаточных условий оптимальности.

Прямые методы можно разделить на три группы:1) Методы, основанные на редукции исходной задачи оптимального управления к некоторой задаче математического программирования2) Методы, основанные на использовании градиентных методов в функциональных пространствах3) Методы случайного поиска. Непрямые методы. Непрямые методы основаны на использовании необходимых или достаточных условий оптимальности.Наиболее развитыми в алгоритмическом смысле здесь являются методы, базирующиеся на необходимых условиях оптимальности, которые могут быть получены на основе вариационного исчисления или на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина.Метод Ньютона.Метод Ньютона является исторически первым численным способом решения трансцендентного уравнения (6.45), который предназначен для поиска оптимального управления. Суть метода, носящего итеративный характер, состоит в уточнении значений a, проводимого с целью последовательного сокращения невязок d(a). Тогда на некоторой k-ой итерацииa^k+1 = a^k + d^k, k = 0,1,….

Здесь d^k — вектор поправки к значениям сопряженных переменных на k-ой итерации.Алгоритм И.Крылова-Ф.Черноусько. Основная идея метода состоит в том, что задается (каким либо образом) некоторое д и с п е т ч е р с к о е управление u^о(t). Тогда при известных начальном состоянии x_o и управлении u^о(t) можно вычислить (решая задачу Коши) состояние системы в финальный момент времени, которое зависит от диспетчерского управления, x(t_f,u^о). Алгоритм.0) Исходное состояние. На основе анализа исходной задачи задается диспетчерское управление u^о(t); критерий окончания процесса e; номер шага k = 0;1) Решается задача Коши для системы n дифференциальных уравнений (t) = j (t, x, u^k), tÎ(t_o, t_f]2) Рассчитываются значения сопряженных переменных в финальный момент времени 3) Производится интегрирование сопряженной системы дифференциальных уравнений в обратном направлении времени 4) При известных начальных условиях x(t_o), y(t_o) решается система 2n дифференциальных уравнений5) Проверяется критерий окончания итерационного процесса