Метод наименьших квадратов

Запишем сумму квадратов отклонений (3.4) для всех точек х₀, xi х_п:

(3.5)

Параметры а₀, а/ а_т эмпирической формулы (3.5) будем находить из условия минимума функции S = S (а₀, а\ а^. В этом состоит метод наименьших квадратов.

В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны, если отклонения ε_i,- подчиняются нормальному закону распределения.

Поскольку здесь параметры а₀ a_t a_m выступают в роли независимых переменных функции 5, то ее минимум найдем приравнивая нулю частные производные по этим переменным:

(3.6)

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен (3.7)

Формула (3. 5) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид (3.8)

Для составления системы уравнений (3.6) найдем частные производные функции S = S (a₀ а_/р. dm). Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (3.6) и собирая коэффициенты при неизвестных а₀ а₁а_т, получим систему уравнений. Решая ее, получаем коэффициенты а₀ а₁а_т многочлена (3.7), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы. Полученную конечную систему можно записать в компактном виде: (3.9) (3.10)