Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R

Действительные числа - множество чисел вида [a₀],а₁ a₂ а₃... где а₀ÎZ а₁,а₂,а₃,... Î{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а_о],а₁ а₂ а₃...а_к (0) = а_о + а₁/10 + а₂/100 +... +а_к/10^k = [а_о],а₁ а₂ а₃...а’_к (9), где а’_к=а_к-1

х=[х_о],х₁ х₂ х₃...х_к...

у=[у_о],у₁ у₂ у₃...у_к...

х’_к - катое приближение икса с недостатком = [х_о],х₁ х₂ х₃...х_к

у”_к - катое приближение игрека с избытком = [у_о],у₁ у₂ у₃...у_к + 1/10^k

х’_к+1 > х’_к (х’_к - монотонно растет)

у”_к+1 £ у”_k (у”_{k -} не возрастает), т.к. у”_к=[у_о],у₁ у₂ у₃...у_к + 1/10^к

у”_к+1 = [у_о],у₁ у₂ у₃...у_к у_к+1 + 1/10^к+1

у”_к - у”_к+1 = 1/10^к - у_к+1 + 1/10^к+1 ³ 0

10 - у_к+1 - 1 / 10^к+1 ³ 0

9 ³ у_к+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’_к > у”_к

2) х = у <=> х’_к не> у”_к & у”_к не> х’_к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х₁=[х₁], х₁₁ х₁₂ х₁₃... |

2«х₂=[х₂], х₂₁ х₂₂ х₂₃... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х₃=[х₃], х₃₁ х₃₂ х₃₃... |

... | (*)

к«х_к=[х_к ], х_к1 х_к2 х_к3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с₁ с₂ с₃...

[с]¹[х₁] => с¹х₁

с₁ Ï {9;х₂₁} => с¹х₂

с₂ Ï {9;х₃₂} => с¹х₃

...

с_к Ï {9;х_к+1к} => с¹х_к

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)