Длина кривой, заданной параметрически

Определение. Длиной кривой называется точная верхняя граница для множества периметров вписанных в кривую ломаных: . Если это число конечно, то кривая называется спрямляемой.

Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую

.

Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.

Доказательство. Поскольку функции и непрерывны на отрезке, то они ограничены на нем, то есть

.