Прямое произведение множеств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Прямым произведением множествA ₁, A ₂,…, A_n называется множество

A ₁´ A ₂´…´ A_n ={(a ₁ a ₂,…, a_n): a ₁Î A ₁, a ₂Î A ₂,…, a_n Î A_n }.

Элементы прямого произведения (a ₁ a ₂,…, a_n) называются векторами или кортежами. Слово «кортеж» вам встречалось, возможно, в обороте «кортеж автомобилей». Так говорят, когда едет группа крупных руководителей. Следуют они в определенном порядке: первым едет самый большой начальник, вторым начальник поменьше, и т.д. Здесь тоже элементы стоят на определенных местах, правда, первый элемент не важнее второго.

Прямое произведение считается пустым, если один из сомножителей – пустое множество.

Упражнение. Перечислите все элементы прямого произведения {1,2} ´{ a,b }.

Если множества совпадают, то пишут просто Aⁿ.

Поначалу может показаться, что приведенная конструкция несколько искусственная. В действительности, вы часто сталкиваетесь с ней, не говоря уже о том, что именно на прямом произведении множеств базируется реляционная модель базы данных – один из важнейших элементов программного обеспечения.

Примеры.

1. В зрительном зале 30 рядов, в каждом по 26 мест. Прямое произведение {1,2,…,30} ´ {1,2,…,26} это представление множества всех зрительских мест.

2. Прямое произведение { a,b,…,h } ´ {1,2,…,8} это множество полей шахматной доски.

3. Пусть R – множество вещественных чисел. Тогда R ² это множество точек плоскости, заданных обычными декартовыми координатами (х,y). Аналогично R ³ – множество точек пространства. Можно пойти дальше и рассмотреть n- мерное пространство Rⁿ. Многомерные пространства используются в физике (есть теории, в соответствии с которыми наше реальное пространство 10- или 16-мерное), используются они и в экономике.

Словом, прямые произведения вам встречались и раньше, но подобно герою Мольера, который с удивлением узнал, что разговаривает прозой, вы не знали, что это так называется.

Подчеркнем отличия между множеством (там используются фигурные скобки) и прямым произведением.

{ a,b }={ b,a }, (a,b)¹(b,a), { a,b,a }={ a,b }, вектора (a,b,a) и (a,b) расположены в разных пространствах, сравнение их лишено смысла.

Приведем еще одну конструкцию, связанную с прямым произведением. Определим алфавит A – конечное множество { a ₁, a ₂,…, a_n }, элементы которого называются буквами. Языком над алфавитом A называются всевозможные последовательности букв. Таким образом, язык это множество A È A ²È A ³È…È Aⁿ È…. Разумеется, среди этих «текстов» большинство бессмысленных (например, целые тома, заполненные одной буквой).

Следующее утверждение очевидно.

Теорема 2. Если A ₁, A ₂,…, A_n – конечные множества, то
| A ₁´ A ₂´…´ A_n| =| A ₁|×| A ₂|×…| A_n|.