Какие события называются независимыми? Докажите, что если события

·

· Предисловие

· У истоков мифа и обряда (религии примитивных племен)

· Все во всем

· Страх и песня

· Страна сновидений и доверие Луне

· Предмет и мир

· По веревке на небо

· Зигзаги истории

· Профессионалы культуры

· Боги и судьба (Древняя Греция)

· Золотой век

· Молния разума (Олимп)

· Богоборчество. Снова титаны

· С Олимпа в бездну

· Живое бессмертие

· Последняя ставка богов. Казнь Сократа. Смерть богов

· Сущий (вера древних евреев)

· Книга книг*

· Образ не имеющего образа

· Неопалимая купина

· Цари и пророки

· Не единым хлебом

· Иов и Прометей (за что?)

· Бог есть любовь (христианство)

· Новый Адам

· Не человек для субботы, а суббота для человека

· Внутри нас

· Чудо

· Кесарево - Кесарю, а божие - Богу

· Смерть смерти

· Жизнь вечная или будущая

· Пророк пустыни (ислам)

· Потомки Измаила

· Нет Бога, кроме Бога!

· О, если бы вы знали...

· Пророк становится повелителем

· Золотая суть (Древняя Индия. Религия Вед и упанишад)

· Тогда расширялись небеса и удлинялись рассветы

· Истина одна, мудрецы называют ее разными именами

· Бессмертный среди смертных

· Брахман

· Ты - это то

· Татхагата (буддизм)

· Наука свободы

· Слово о молчании

· Наполненная пустота

· Разлитый повсюду

· Две естественности (спор буддизма с индуизмом)

· Отчаянье Арджуны

· Теологические поддавки

· Возмездие стихий

· Флейта Кришны

· Призраки храма

· XX век (Кришнамурти, Раджнеш, бахаизм)

· Послесловие

· Часть 1

· Глава 1. Адам

· Глава 2. Каин

· Глава 3. Бабушка и внук

· Глава 4. Иов

· Часть 2

· Глава 1. Благовещение

· Глава 2. Рождественская звезда

· Глава 3. Ребенок и отрок

· Глава 4. Иоанн Креститель

· Глава 5. Пустыня

· Глава 6. Ученики

· Глава 7. Слепой

· Глава 8. Мария и Марфа

· Шва 9. Лазарь

· Глава 10. У фарисея

· Глава 11. «Царствие Божие не там и не тут»

· Гпава 12. Нагорная проповедь

· Глава 13. «Израиль! Израиль!»

· Глава 14. Магдалина

· Глава 15. Чудо Иоанна

· Глава 16. Иуда

· Глава 17. Тайная вечеря

· Глава 18. Подросший внук

· Глава 19. Гефсиманский сад

· Глава 20. Ночь Петра

· Глава 21. Понтий Пилат

· Глава 22. Голгофа

· Глава 23. Воскресение

Какие события называются независимыми? Докажите, что если события

A и B независимы, то независимы события A и B’

Если выполняется равенство Р_B(А)=Р(А) то события А и В независимы. Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий.

А=АВ+АВ’ Þ Р(А)= Р(АВ)+Р(АВ’), или Р(А)=Р(АВ’)+Р(А)Р(В). Отсюда Р(АВ’)=Р(А)[1-Р(В)], или Р(АВ’)=Р(А)Р(В’)

2. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,В3,…., Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р в2 (А), …., Рвn (А) события А. Найдем вероятность события А.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А) +….+ Р(Вn) Рвn(А).

Эта формула называется «формулой полной вероятности».

Докажем ее…

По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2,…,Вn. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А,…, ВnА. Пользуясь для вычисления события А теоремой сложения, получаем

Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) +….+ Р(ВnА) (1)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Р(В1А) = Р(В1) Рв1(А); Р(В2) Рв2(А): …. Р(ВnА) = Р(Вn) Р(bn) (А)

Подставляем правые части этих равенств в соотношение (1) и получаем формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А)

3. Сформулируйте и докажите формулу Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…,Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А) (1)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились, в связи с тем, что событие А уже наступило, вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Ра(В1), Ра(В2),…., Ра(Вn).

Найдем вначале условную вероятность Ра(В1). По теореме умножения имеем

Р(АВ1) = Р(А) Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А)

Отсюда

Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А)

Р(А)

Заменим здесь Р(А) по формуле (1), получаем

p_A(H_i)= р_вi(A)p(В_i).

р_В1(А₁)р(В₁)+р_В2(А)р(В₂)+…+р_Вn(А)р(В_n)

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i= 1,2,…,n) может быть вычислена по формуле

Ра(Вi) = Р(Вi) Рвi(А)

Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А)+….+Р(Вn) Рвn(А)

Полученные формулы называются формулы Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.