Временная и пространственная когерентность электромагнитных (световых) волн

Временная и пространственная когерентность электромагнитных (световых) волн

Важным свойством двух одновременно протекающих волновых процессов является их когерентность.

По определению когерентностью двух волновых процессов называется их согласованное протекание. В соответствии с этим определением две монохроматические волны одной частоты всегда будут когерентными. Другой пример когерентных волн представлен на рис. 4.4, изображающем две волны от одного источника монохроматических колебаний, одна из которых от источника распространяется в точку наблюдения по прямому пути, а вторая после отражения от границы раздела. Согласованность колебаний двух волн в точке наблюдения обусловлена тем, что они излучаются одним источником. Если поместить на пути распространения этих волн экран, то на нём, при определённых условиях о которых будет сказано ниже, будет можно наблюдать интерференционную картину, которая будет представлять собой чередование тёмных и светлых полос.

Рис. 4.4.

Итак, согласованность протекания двух волновых процессов связывается с возможностью наблюдать их интерференционную картину волн, излучаемых их источниками. С другой стороны, как мы установили выше, при наблюдении интерференции в каждой точке экрана, с помощью которого она наблюдается, разность фаз должна иметь определённое значение и не меняться со временем. Предположим, что разность фаз колебаний интерферирующих источников волн меняется со временем. Для определённости будем полагать, что она увеличивается пропорционально времени. Тогда в точке экрана, где в какой то момент времени наблюдался интерференционный максимум, со времен разность фаз изменит своё значение за некоторый промежуток времени и в этой точке окажется выполненным условие минимума интерференционной картины. В результате зависимости разности фаз колебаний интерферирующих источников от времени их интерференционная картина будет меняться во времени, т. е. не будет стабильной. Это может затруднить наблюдение интерференции волн источников, а в ряде случаев наблюдение интерференции вообще может стать невозможным.

Таким образом, два волновых процесса называются когерентными, если средняя разность их полных фаз в точке наблюдения с координатами не зависит от времени наблюдения :

,

(4.12)

где - соответственно полные фазы первой и второй волны; черта над разностью фаз означает её среднее значение по времени, для определения которой может быть использована формула (1.31).

В соответствии с этим определением две монохроматические электромагнитные волны являются когерентными. Действительно, рассмотрим для простоты две плоские одинаково поляризованные монохроматические электромагнитные волны одой частоты , распространяющиеся вдоль оси выбранной системы координат с колебаниями вдоль оси векторов напряжённости электрического поля и , описываемых следующими выражениями:

Рис. 4.5.

,

где - амплитуды волн; - их начальные фазы; - волновое число; - длина волны.

В соответствии с этим выражением, используя (4.12), найдём полные фазы волн:

.

Определяя разность полных фаз, получим :

,

убеждаемся, что она не зависит от времени. Следовательно, в соответствии с определением когерентности (4.12) рассматриваемые две плоские монохроматические волны одной частоты являются когерентными.

Рассмотрим более сложный случай, двух плоских монохроматических электромагнитных волн одной частоты, одной поляризации, но распространяющихся в разных направлениях (рис. 4.5), задаваемых для первой и второй волн соответственно волновыми векторами , колебания напряжённости электрического поля которых определяются выражениями:

,

(4.13)

Аналогично, определяя разность полных фаз

,

убеждаемся, что её среднее значение не зависит от времени, как и выше, но в отличие от предыдущего случая появляется зависимость от координат точки наблюдения, задаваемых вектором .

Отсюда следует вывод, что рассматриваемые волны являются когерентными.

Временная когерентность электромагнитных (световых) волн.

Необходимо отметить, что когерентность двух электромагнитных полей определяет независимость средней разности их полных фаз от времени. По этой причине отмечается роль времени в определении когерентности и её в соответствии с этим обстоятельством называют временной когерентностью.

Временной аспект когерентности имеет исключительно важное значение при рассмотрении явлений взаимодействия электромагнитных волн ввиду того, что, во-первых, в строгом смысле на практике монохроматических волн с абсолютно одинаковыми частотами не существует из-за статистического аспекта излучения электромагнитных волн. Во-вторых, монохроматические волны представляют собой в соответствии с определением бесконечный по продолжительности и локализации пространственно-временной процесс, что очевидно невозможно с точки зрения предположений о конечности энергии источников электромагнитных волн.

Таким образом, монохроматические волны в физике являются весьма полезной математической абстракцией, позволяющей досконально изучить основные свойства электромагнитных волн. На практике монохроматические волны представляются в виде цугов конечной длительности по времени (рис. 4.6), представляющих собой гармонические во времени функции, ограниченные во времени и пространстве о чём говорилось выше.

Рис. 4.6.

В связи с этим обстоятельством рассматривается время когерентности. Время когерентности учитывает тот факт, что реально средняя разность фаз может зависеть от времени. Поскольку когерентность двух волн связывается с возможностью наблюдения интерференционной картины, то под временем когерентности понимается время, в течение которого интерференционная картина этих волн может наблюдаться. Конечно, возможность наблюдения интерференционной картины является субъективным фактором. Однако, выше мы рассмотрели понятие видности интерференционной картины (4.5). Видность интерференционной картины отлична от нуля при различии интенсивностей её максимумов и минимумов. Чем больше это различие, тем лучше видна интерференционная картина. Интерференционная картина не видна, когда интенсивность её максимумов совпадает с интенсивностью минимумов. При этом интерференционная картина как бы ' разрушается '. Упрощенно это можно представить с помощью наложения максимумов одной интерференционной картины на минимумы другой (рис. 4.7). Появление второй интерференционной картины следует из того факта, что наблюдается интерференция двух цугов волн, каждый из которых в зависимости от длительности цуга можно представить в виде суперпозиции того или иного количества плоских электромагнитных волн. По этой причине на экране наблюдается одновременно интерференция всевозможных пар монохроматических составляющих цугов волн. Для упрощения качественных рассуждений рассматривается только одна из возможных пар монохроматических составляющих для понимания эффекта разрушения интерференционной картины.

Рис. 4.7.

Исходя из этих рассуждений определим время, в течении которого средняя разность полных фаз двух цугов электромагнитных волн может измениться от своего значения характерного для максимума интерференционной картины до значения, при котором формируется минимум. Это эквивалентно рассмотренной выше ситуации разрушения интерференционной картины, когда максимумы одной интерференционной картины как бы накладываются на минимумы другой интерференционной картины различных пар монохроматических составляющих цуга волн. Из свойств интерференционной картины двух точечных источников одинаковой интенсивности следует, что условной границей, разделяющей область максимумов и минимумов их интерференционной картины, являются множества точек в пространстве, где разность полной фазы интерферирующих волн равна (радиан.

В соответствии с этим определяется время когерентности исходя из условия:

,

(4.14)

Найдём время когерентности распространяющихся в направлении оси одинаковыми начальными фазами двух плоских монохроматических электромагнитных волн одной поляризации, частоты которых отличаются на величину :

(4.15)

Отсюда следует, что разность полных фаз волн, определяемых выражениями (4.15), зависит от времени. Исходя из определения времени когерентности (4.14), получим уравнение для его расчёта:

.

Решая это уравнение, находим, что время когерентности обратно пропорционально разбросу частот колебаний волн:

(4.16)

Преобразуем полученную формулу с помощью представления о ширине спектра колебаний источника электромагнитных волн , поскольку, частота колебаний второй волны может быть как больше, так и меньше .

Отсюда следует, что время когерентности обратно пропорционально ширине спектра источника электромагнитных волн, т.е.:

.

(4.17a)

Время когерентности, оцениваемое по формуле (4.17a), можно найти, если известен разброс длин волн интерферирующих источников, соответствующий разбросу частот световых волн, которые излучаются этими источниками.

Пусть разброс частот источников равен (F. Тогда соответствующий разброс длин волн может быть определен с помощью очевидных соотношений:

.

Поскольку нас интересует соотношения между величинами и , знак минус можно опустить, т.к. он указывает на то, что увеличение соответствует уменьшению и наоборот. Подставляя полученное выражение в выражение (4.17), получим:

.

(4.17b)

В этом соотношении - это длина волны первого источника, в соответствии с рассуждениями, проведенными выше.

Понятие время когерентности имеет смысл при наблюдении интерференции света от источников, длины волн которых не очень сильно отличаются друг от друга, т.е. в том случае, когда или, что эквивалентно , где - частота света первого источника.

С понятием времени когерентности связано понятие длины когерентности , которая определяется длиной пути, проходимым светом за время когерентности :

(4.18a)

Или используя выражение (4.17b), получаем

(4.18b)

Длина когерентности определяет размер области экрана, на которой наблюдается интерференционная картина. В самом деле (рис.4.8), поскольку 'центр' интерференционной картины соответствует нулевой разности хода интерферирующих волн, контрастность интерференционной картины, определяемая её видностью (4.5), будет уменьшаться по мере удаления от центра. Очевидно, область экрана, где максимумы и минимумы интерференционной картины могут быть различены, условно может быть ограничена кругом максимального радиуса , за пределами которого в соответствии с определением длины когерентности следует ожидать совмещения максимумов и минимумов интерференционных картин, создаваемых различными цугами волн, т.е. . Это приводит к выравниванию распределения интенсивности наблюдаемой интерференционной картины и уменьшению видности до нуля на краях интерференционной картины.

Рис. 4.8.

Как известно, геометрическим местом точек, для которых разность расстояний до двух заданных точек расположения источников S1, S2 является плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки для , и при гиперболоид вращения, ось которого проходит через отрезок , . На рис. 4.8 приводится сечение плоскостью нескольких гиперболоидов, соответствующих , кратным длине волны, излучаемой источниками. При пересечении указанных на рисунке гиперболоидов плоскостью экрана линии пересечения будут соответствовать максимумам интерференционной картины, наблюдаемой на экране E (рис. 4.8). Очевидно, на экране E будут наблюдаться максимумы интерференционной картины, которые находятся внутри области пересечения с плоскостью экрана двух гиперболоидов, соответствующих . Расстояние между двумя точками пересечения плоскости экрана с гиперболоидами, соответствующими значению в плоскости XOY, определяет диаметр максимального круга .

Для оценки значения воспользуемся формулой (4.10) для расчёта ширины полосы интерференционной картины двух точечных источников, находящихся в среде с показателем преломления на расстоянии друг от друга и на расстоянии от плоского экрана. Тогда, очевидно

,

(4.19a)

где - предельное число наблюдаемых на экране интерференционных полос.

Вспоминая, что в соответствии с (4.8) каждой полосе соответствует оптическая разность хода, равная длине волны (, значение может быть определено длиной когерентности (4.18b), исходя из очевидного соотношения:

.

(4.19b)

Из (4.19a) с учётом (4.10) получим

(4.19c)

Полученную формулу для можно переписать, используя определение длины когерентности (4.18b):

,

(4.19d)

где - тангенс угла , под которым из точки наблюдения на экране видны интерферирующие источники (рис. 4.3a), причём предполагается, что этот угол мал, т.е. и как следствие .

В дальнейшем угол , под, которым из точки наблюдения на экране видны интерферирующие источники, будем называть угловым размером области расположения источников (ОРИ).

Пространственная когерентность электромагнитных (световых) волн.

Из (4.19d) следует, что размер области, в которой можно наблюдать интерференцию волн, излучаемых частично-когерентными источниками, обратно пропорционален угловому размеру ОРИ. Это обстоятельство имеет определяющее значение при рассмотрении интерференции когерентных волн, испускаемых не точечными, а протяжёнными источниками.

Возможность наблюдать интерференцию когерентных волн от протяжённых источников приводит к понятию пространственной когерентности электромагнитных волн.

Рис. 4.9.

Для простоты рассуждений представим, что источники когерентных электромагнитных волн с одинаковыми начальными фазами и с длиной волны расположены на отрезке длины d, расположенном на расстоянии от экрана (рис. 4.9), на котором наблюдается их интерференция. Наблюдаемая на экране интерференционная картина может быть представлена как наложение интерференционных картин, создаваемых бесконечным множеством пар точечных когерентных источников, на которые можно мысленно разбить протяжённый источник.

Выделим среди всего множества источников источник, расположенный посредине отрезка, и сравним интерференционные картины двух пар, одна из которых образована центральным источником и некоторым произвольно выбранным близко расположенным к нему источником, а другая - центральным и источником, расположенным на одном из концов отрезка. Очевидно, что интерференционная картина пары близкорасположенных источников будет иметь близкое к максимальному значению в центре экрана в точке наблюдения (рис. 4.9). В тоже время интерференционная картина другой пары будет иметь значение, зависящее от оптической разности хода электромагнитных волн, испускаемых источниками в центре отрезка и на его крае

,

(4.20)

где угловой размер источника (рис.), который ввиду достаточно мал, так, что справедливы очевидные преобразования, использованные при выводе формулы (4.20).

Отсюда следует, что волны от различных точек протяжённого источника, приходящие в точку наблюдения , расположенную в центре экрана, будут иметь по отношению к волне от центрального источника оптическую разность хода, изменяющуюся по линейному закону от нуля до максимального значения . При определённой длине источника приходящие в точку наблюдения волны могут иметь фазу, отличающуюся на 180^о от фазы волны, излучаемой центральной точкой отрезка. В результате этого приходящие волны от различных частей источника в центр экрана будут уменьшать значение мощности по сравнением с максимальным, которое имело бы место, если бы все волны имели одинаковую фазу. Эти же рассуждения справедливы и по отношению к другим точкам экрана. Например, в точках минимума интерференционной картины волн от близко расположенных источников интерференционная картина пространственно разделенных источников будет иметь максимальное значение. Вследствие этого значения максимумов и минимумов интерференционной картины протяжённого источника при увеличении его длины будут иметь близкие значения и видность интерференционной картины будет стремиться к нулю. В рассматриваемом случае это имеет место при в (4.20). Значение длины отрезка , соответствующее этому условию определяется из соотношения:

.

В оптике и теории электромагнитных волн половина этого значения определяет т.н. радиус пространственной когерентности электромагнитных волн, излучаемых протяжённым источником:

.

(4.21)

Физический смысл понятия радиуса пространственной когерентности протяжённого источника состоит в представлении о возможности наблюдения интерференционной картины от протяжённого источника, если он размещается внутри круга, диаметр которого равен .

Из сказанного следует вывод, что пространственная когерентность электромагнитных волн определяется угловым размером их источника. С угловым размером источника можно связать направления прихода волн от него. От удалённых источников, как следует из главы 3, в точку наблюдения приходят волны, которые с большой степенью точности можно считать плоскими. По этой причине от каждой из точек протяжённого источника в точку наблюдения приходит плоская волна, направление которой слегка отличается от направления волны, излучаемой соседней точкой источника.

Совокупность плоских волн, приходящих от источника излучения в точку наблюдения называется пространственным спектром излучения этого источника. Бесконечно удалённому источнику относительно точки наблюдения соответствует одна плоская волна, приходящая с направления, где находится источник. В этом случае, очевидно, угловой размер источника и соответственно пространственный спектр составляет всего одна плоская волна, т.е. ширина пространственного спектра источника плоской волны считается равной нулю. Плоской волне как следует из формулы (4.21) соответствует бесконечное значение радиуса пространственной когерентности (). Если излучение источника монохроматическое, т.е. спектр его излучения , то, как следует из (4.17a), излучение источника имеет бесконечно большое время когерентности (). Отсюда следует вывод, что плоская гармоническая электромагнитная волна является когерентной как во времени, так и в пространстве.

В действительности представление об электромагнитном излучении реальных тел в виде плоской гармонической волны является абстракцией. Окружающие нас объекты повседневной деятельности имеют конечные размеры, а ширина спектра их излучения всегда отлична от нуля, хотя в ряде случаев, например, в лазерах, она может быть достаточно малой, чтобы полагать её равной нулю ().

По этой причине в пространстве вокруг источника электромагнитных волн можно выделить область, внутри которой излучение может считаться когерентным. Объём такой области называется объёмом когерентности и равен произведению длины когерентности на площадь круга радиуса :

.

(4.22)

В частности, вопрос о возможности наблюдении интерференции волн от двух щелей при использовании выбранного источника электромагнитного излучения решается положительно, если область экрана, на котором расположены щели, попадает внутрь объёма когерентности источника излучения. Рассмотрим с этой точки зрения Солнце, как естественный источник электромагнитного излучения. Для естественных источников электромагнитного излучения характерно протекание процесса излучения за время 10^-8 сек. За это время излучается цуг электромагнитной волны, представляющий собой конечный "отрезок" гармонической волны в виде синусоиды (рис. 4.10). Условно этот цуг волн можно представить состоящим из трёх частей. На интервалах времени и происходит соответственно формирование и исчезновение цуга волны. На интервале времени можно считать излучение в виде плоской гармонической волны. По этой причине оценкой времени когерентности является . Этому времени соответствует вычисляемая по (4.18a) длина когерентности м. Расчёт радиуса пространственной когерентности солнечного излучения в оптическом диапазоне электромагнитного излучения по формуле (4.21) для м. и углового размера солнца рад приводит к значению м.

Рис. 4.10.

Роль пространственной когерентности светового излучения впервые была осознана Юнгом (1807), который в своих публичных лекциях указал способ наблюдения интерференции световых волн, излучаемых Солнцем, на двух щелях, освещаемых солнечным излучением, предварительно, пропущенным через малое отверстие в дополнительном экране (рис. 4.11).

Рис. 4.11.

Благодаря малому отверстию уменьшается угловой размер источника и увеличивается радиус пространственной когерентности до размеров, при которых освещаемые щели попадают внутрь 'объема' когерентности источника S и становится возможным наблюдение соответствующей интерференционной картины.

В истории физики опыт Юнга признан классическим опытом по наблюдению интерференции света. Анализ наблюдаемой интерференции световых волн позволил Юнгу определить длины этих волн. Возможные применения интерференции в науке и технике, в частности, для измерения различных физических величин обсуждаются ниже.

Необходимо отметить, что задолго до Юнга в 1665г. Гримальди безуспешно использовал для наблюдения интерференции на двух щелях солнечный свет, непосредственно облучающий щели без дополнительного отверстия.

Чем меньше угловой размер источника света, тем больше радиус пространственной когерентности излучаемого им света. В частности свет, излучаемый такими естественными источниками, как звёзды с малыми угловыми размерами (ob® 0, несмотря на их гигантские размеры, на больших расстояниях может иметь значение радиуса пространственной когерентности во много раз большее, чем рассчитанное для Солнца. Для излучения лазеров, являющихся искусственными источниками когерентного излучения, характерны значения радиуса пространственной когерентности излучения во много раз превышающих значения, характерные для естественных источников, благодаря специальным способам формирования выходного пучка излучаемых световых волн, имеющего малую угловую расходимость (). Применение световых источников с большим значением радиуса пространственной когерентности, в частности лазеров, позволяет наблюдать интерференцию света в опыте Юнга без использования дополнительного экрана с малым отверстием.

Знание значений длины когерентности и радиуса пространственной когерентности электромагнитного (светового) излучения широко используется в научных исследованиях, в физико-технических измерениях, а также на практике для расчёта радиоэлектронных и оптических приборов.

Кроме опыта Юнга в истории оптики известны целый ряд других способов получения когерентного света от одного источника. Рассмотрим некоторые из них.

В устройстве под названием зеркало Ллойда (рис. 4.4) точечный источник помещается на близком расстоянии от плоского зеркала M, отражающего свет источника под скользящими углами к поверхности зеркала на экран E. На экране наблюдается интерференция от когерентных источников и , представляющее мнимое изображение источника S1 в зеркале M.

В зеркалах Френеля (рис. 4.12) свет от источника S падает на два расположенных под небольшим углом друг к другу плоских зеркала M1 и M2. После отражения в этих зеркалах образуются два мнимых изображения S1 и S2, волновые фронты которых, являясь когерентными, образуют интерференционную картину на экране E.

Рис. 4.12.

В бипризме Френеля (рис. 4.13), состоящей из двух преломляющих свет одинаковых призм с небольшими углами, световой поток от источника S в результате преломления в каждой из призм делится на два луча, образованных мнимыми изображениями S1 и S2, представляющими собой когерентные источники. Интерференционная картина этих источников наблюдается на экране E.

Рис. 4.13.

В билинзе Бийе (рис. 4.14), состоящей из двух раздвинутых на некоторое расстояние перпендикулярно оптической оси половинок линзы, разрезанной по диаметру, свет от источника S образует два действительных изображения S1 и S2, интерференционная картина которых наблюдается на экране E.

Рис. 4.14.

В опыте Меслина (рис. 4.15) две половинки линзы, разрезанной по диаметру, формируют два действительных изображения S1 и S2,

Рис. 4.15.

а интерференционная картина в виде концентрических полуокружностей с центром на оптической оси линзы наблюдается на экране E, который может быть помещён перпендикулярно отрезку S1 S2