Тема № 7. Кривые второго порядка

Общий вид уравнения второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Определение вида кривой по уравнению. Полярные координаты на плоскости.

3. Правила выполнения контрольных работ

При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя, отчество студента, номер контрольной работы, называние дисциплины; здесь же следует указать дату отправки работы в институт.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не принимаются.

4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номер задачи.

5. Перед решением задачи надо выписывать полностью ее условие.

6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как недопущенной, так и допущенной к собеседованию, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, а также выполнить все рекомендации. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок. При высылаемых исправлениях, должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8. По каждой работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе.

Вариант контрольной работы содержит 5 заданий. Задачи контрольной работы должны выбираться студентами по двум последним цифрам его учебного номера (шифра) в соответствии с таблицей выбора вариантов. В колонке в таблице по вертикали (Б) расположены цифры от 0 до 9, но каждая из них – последняя цифра личного шифра; по горизонтали (А) – предпоследняя цифра личного шифра. Пересечения вертикальных и горизонтальных линий определяют номера задач контрольной работы, записанные столбиком. Например, если личный шифр студента 75, то он должен выполнять номера 3, 13, 23, 40, 49.

Таблица выбора вариантов.

Б А

4. Задачи контрольной работы

Задачи № 1-10. Для заданных матриц A, B, C, D, E, F, G, K, L, M, N, O, R, S, T, P, H, Y, Z, U, X выполнить действия, указанные в таблице:

, , ,

, , ,

, , , , , , , , , , , ,

, ,

№ задания	Вычислить определитель матрицы-результата	Найти	Найти произведения матриц и сравнить	Вычислить обратную матрицу и сделать проверку
	3A – F + U	At	AB и BA	A-1
	2B – H + Y	Bt	CD и DC	B-1
	G – U + 2B	Ct	GK и KG	C-1
	T – 2X + Z	Dt	EL и LE	D-1
	R – S + 4F	Gt	MN и NM	G-1
	M – 2K + L	Kt	PO и OP	K-1
	3E – T + G	Et	RP и PR	E-1
	C – D + 2Y	Lt	TX и XT	L-1
	H – 4P + M	Mt	YZ и ZY	M-1
	M – 2N + Y	Nt	ZH и HZ	N-1

Задачи № 11-20. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Жордана-Гаусса; б) методом обратной матрицы; в) по формулам Крамера.

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Задачи № 21-30. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задачи № 31-40. Даны вершины треугольника А(x₁, y₁), В(x₁, y₁), С(x₁, y₁). Составить уравнения: а) стороны ВС; б) высоты АМ, опущенной из вершины А на сторону ВС; в) медианы, проведенной из вершины С. Найти длину высоты АМ.

31) А(5; 1), В(-1; -1), С(3; 2).

32) А(3; -1), В(1; -1), С(5; 1).

33) А(2; -1), В(2; 2), С(-5; 2).

34) А(-1; 1), В(4; -1), С(3; 4).

35) А(6; 1), В(2; -3), С(3; -1).

36) А(-3; 4), В(1; -2), С(3; 5).

37) А(-2; -3), В(1; 5), С(6; 2).

38) А(-4; -2), В(1; 2), С(4; -1).

39) А(1; 5), В(3; 8), С(6; -1).

40) А(-2; 1), В(1; 4), С(4; -2).

Задачи № 41-50.

41. Составить каноническое уравнение эллипса по следующим данным:

a) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось 26;

b) эксцентриситет равен 0.6, расстояние между фокусами - 6.

42. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10.

43. Дан эллипс 6x²+15y²=90. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.

44. Составить каноническое уравнение эллипса по следующим данным:

a) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;

b) сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами равно12.

45. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.

46. Составить каноническое уравнение эллипса по следующим данным:

a) малая полуось равна 12 и эксцентриситет равен;

b) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между директрисами 24.

47. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что эксцентриситет равен 5/3, расстояние между фокусами равно10.

48. Составить каноническое уравнение параболы, зная, что парабола симметрична относительно оси ординат Оу и проходит через точки О(0,0) и N(б, -2);

49. Найти координаты центра С и радиус R окружности x²+y²+8x-9=0.

50. Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 8, а расстояние между фокусами равно 10.

5. Вопросы для подготовки к экзамену

1. Понятие матрицы. Квадратные матрицы. Действия с матрицами. Умножение матрицы на число и сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матриц.

2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца. Теорема Лапласа.

3. Обратная матрица.

4. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

5. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

6. Система m уравнений с n переменными. Разрешенные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Жордановы преобразования систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений.

7. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

9. Собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

10. Собственные векторы матрицы Алгоритм нахождения всех собственных векторов матрицы.

11. N-мерные векторы. Линейные операции над n-мерными векторами. Скалярное произведение и длина n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольников.

12. Угол между n-мерными векторами. Теорема о равенстве двух ненулевых векторов. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Теорема о коллинеарности двух векторов.

13. Разложение вектора по системе векторов.

14. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов. Основные утверждения.

15. Базисы системы векторов. Теорема о существовании базиса и единственности разложения каждого вектора системы по векторам ее базиса.

16. Уравнение прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

17. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Положение плоскости относительно координатных осей.

18. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Определение вида кривой по уравнению. Полярные координаты на плоскости.

Список рекомендуемой литературы:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие / Н.Ш. Кремер. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003. – 510 с.

2. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие / В.И. Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 210 с.

3. Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1986. – 160 с.

4. Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических вузов: Учебное пособие в 2-х частях / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И.Савельева. – М.: Высшая школа, 1982. – 310 с.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие в 2-х частях / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1980. – 230 с.

6. Кузнецов А.В. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Учебное пособие / А.В. Кузнецов, Д.С. Кузнецова. – Минск: Высшая школа, 1994. – 250 с.

7. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. А.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 655 с.

8. Ильин В.А. Линейная алгебра: Учебное пособие / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука, 1978. – 180 с.