Примеры решения задач векторной оптимизации

Пример№1. Нормализация компонент ВКО.

Пусть вектор критериев оптимальности включает следующие три компоненты:

где t_дс- время доставки сообщения в линии связи, имеющее диапазон изменения [ 3 мин. – 8 мин.];

h²_с|ш- соотношение сигнал | шум, изменяющееся в диапазоне [0 – 1000]раз;

p_ош- вероятность ошибки при передаче сообщения в линии связи с диапазоном изменения [10^-6 – 0,5].

Требуется получить единый диапазон изменения, точку отсчета и размерность всех трех критериев. Кроме того, необходимо привести цели оптимизации к «min»по всем критериям.

Решение. Используем для решения задачи нормализации рассмотренную выше линейную процедуру

I^н_n= c_n I_n + d_n,

где c_n= d_n= -

В результате для отдельных компонент ВКО имеем следующие выражения:

min t^н_дс= 0,2 t_дс - 0,6; min h^2н_с|ш = -10^-3h²_с|ш +0; min p^н_ош = (1/0,499999)p_ош – (10^-6/0,499999).

Пример№2. Решение задачи ВО при применении различных методов свертки ВКО.

Пусть задача ВО заключается в отыскании экстремума одновременно по двум критериям Пусть также множество допустимых решений по оптимизируемым переменным отображается в следующее дискретное множество точек в пространстве критериев:

D₁:(I₁=4; I₂=0);D₂: (I₁=3; I₂=1); D₃:(I₁=2; I₂=2); D₄: (I₁=1; I₂=3); D₅: (I₁=0; I₂=4).

А. Метод оптимизации по последовательности критериев.

Шаг 1. max I₁(Y(x)) приводит к оптимальному на первом шаге решению: D₁^опт.

Шаг 2. Так как из исходного множества после первого шага осталось для последующего анализа лишь одно решение – D₁, то оно является и окончательным решением многокритериальной задачи. Вместе с тем, оптимальным по второму критерию решением являлось бы решение –D₅, которое оказалось исключенным из рассмотрения уже на первом шаге.

В. Метод оптимизации на основе идеальной точки.

Вначале формируем координаты идеальной точки исходя из возможных максимальных значений отдельных критериев: .

Далее определяем эвклидовы расстояния между идеальной точкой в пространстве критериев и точками исходного множества решений:

Анализ расстояний позволяет определить в качестве решения, оптимального в смысле минимума эвклидова отклонения от идеальной точки, решение – D₃ , для которого

Сравнение данного результата с полученным ранее показывает, что последнее обладает большей объективностью, так как одновременно учитывает отклонения по всем отдельным критериям.

Заключение

Задача векторной динамической оптимизации параметров ТКС связана с преодолением проблем редукции, нормализации и скаляризации. Предварительная редукция множества решений может быть осуществлена непосредственно в пространстве критериев на основе методов поиска множеств компромисса (множеств Парето). Фундаментальную роль в синтезе оптимальных управлений для линейной постановки задачи и среднеквадратического критерия оптимальности имеет принцип разделения. В соответствии с ним задача стохастического оптимального управления решается в два этапа: этап стохастического оценивания состояния объекта и этап поиска детерминированных управляющих воздействий, линейно связанных с оценками состояния. Метод динамического программирования предназначен для повышения эффективности вычислений при решении задач математического программирования путем их декомпозиции на простые пошаговые, а следовательно, легче решаемые задачи. При этом сохранение глобальной оптимальности решения гарантируется принципом оптимальности (независимостью решений, принимаемых на текущем шаге от прошлых и будущих решений, а их зависимостью лишь от текущего состояния и цели функционирования), реализуемым в методах динамического программирования Беллмана.