Теорема Котельникова

Теорема Котельникова

Теорема Котельникова определяет условия, при которых непрерывный сигнал может быть восстановлен по своим отсчетам без потери информации.

Теорема Котельникова формулируется следующим образом:

1.Сигнал x(t), спектральная плотность которого не содержит составляющих с частотами выше ω_В, полностью определяется своими мгновенными значениями, отсчитанными в дискретные моменты времени через интервал

, где .

2.Сигнал x(t) может быть точно восстановлен по своим отсчетным значениям с помощью выражения

, (2)

где x(nT₀) - отсчеты непрерывного сигнала x(t) в точках t= nT₀.

Выражение (1.152) можно интерпретировать как ряд Фурье. В этом случае (1.152) соответствует разложению непрерывного сигнала x(t) по системе базисных функций

, (3)

ортогональных на интервале (- ∞,∞) [1]. Коэффициенты в разложении (2) равны значениям восстанавливаемого сигнала в точках дискретизации.

Каждая из базисных функций φ_n (t) сдвинута относительно функции с номерами n +1 или n -1 на время T₀, соответствующее временному интервалу дискретизации, который называют интервалом Найквиста. В точках nT₀ сигнал x(t) определяется лишь одним слагаемым ряда (2), все остальные члены ряда в этих точках имеют нулевые значения. Следовательно, в моменты времени t= nT₀ непрерывный сигнал восстанавливается точно. Между отсчетами (t≠nT₀) сигнал x(t) восстанавливается точно только в том случае, когда суммируются все члены ряда (2) и соблюдается условие T₀=π/ω_В.

Представление (2) справедливо для бесконечных во времени сигналов с конечным (финитным) спектром, ограниченным частотой ω_В. В процессе цифровой обработки реальные сигналы всегда ограничивают во времени. Если сигнал ограничен интервалом наблюдения , то он лишь приближенно описывается рядом (2), состоящим из конечного числа членов .

Перепишем (2) в виде

. (4)

Выражение (1.154) можно рассматривать как сумму реакций некоторого фильтра на импульсный сигнал x(nT₀)·δ(t - nT₀). В этом случае φ_n (t) соответствует импульсной характеристике фильтра.

Отсюда следует, что для восстановления непрерывного сигнала x(t) по дискретным значениям x(nT₀) необходимо воздействовать импульсами x(nT₀)·δ(t - nT₀) на устройство с импульсной характеристикой вида (3). Подобную импульсную характеристику имеет идеальный фильтр нижних частот с частотой среза ω_В. Следовательно, восстановление непрерывного сигнала по его отсчетам в соответствии с теоремой Котельникова должно выполняться идеальным ФНЧ. Однако, как было показано в примере 1.10, такой фильтр не реализуем. Поэтому на практике восстановление непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам всегда выполняется с некоторой погрешностью.