Введем понятиеравносильности систем аксиом

Пусть из непротиворечивой системы аксиом A(a₁, a₂, …, a_i, …, a_n) следует некоторое предложение М. Если при этом из A₁(а₁, а₂,..., М,..., а_n) следует а_i, то говорят, что а_i и М эквивалентны относительно остальных аксиом систе­мы A.

Например, в геометрии Евклида аксиома параллельных экви­валентна теореме о сумме углов треугольника.

Эквивалентность аксиом строго относительна. Так, если из геометрии Евклида исключить аксиому Паша, теорема о сумме углов треугольника становится не эквивалентной аксиоме параллельных.

В случае эквивалентности систем А и А₁ аксиому a_i можно заменить положением М, и обратно. Каждую теорему, которую можно доказать с помощью системы А, можно доказать с помощью системы A₁, и обратно. Этот факт приводит к следующему, общему определению:

Системы аксиом А и А₁ равносильны, если все аксиомы А мо­гут быть получены из А₁ как теоремы и обратно. Более сильно иное определение: А и А₁ равносильны, если каждая модель А является моделью A₁ и обратно.

Таким образом, в любой непротиворечивой системе взаимно независимых аксиом каждая аксиома однозначно не определима. Можно лишь сказать, что в такой системе каждая аксиома опре­делена с точностью до эквивалентности.

Какая из равносильных систем аксиом заслуживает предпоч­тения? Когда главное внимание обращено только на внутрилогическое раз­витие каждой теории в отдельности, отдается предпочтение тем системам, которые содержат наиболее очевидные аксиомы и при­том в наименьшем числе. Считаются также с возможностью наибо­лее простого вывода следствий. Известно, например, что неочевид­ность аксиомы параллельных послужила причиной попыток до­казать ее с помощью остальных аксиом геометрии Евклида.

С совре­менной точки зрения более важно выбрать из всех равносильных систем аксиом такую, которая наилучшим образом позволяет пе­реходить от одних теорий к другим. Решение этой задачи позволяет познать различные взаимосвязи в теориях, с первого взгляда ни­чем не связанных друг с другом.