Доказательство

Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и С, поэтому

Р(AВС) = Р (АВ·С).

Так как события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

Р(АВ·С) = Р(АВ)·Р (С) и Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

Итак, окончательно получим

Р(AВС) = Р(А)·Р (В)·Р (С).

Для произвольного n доказательство проводится методом математической индукции.

Замечание. Если события А₁, А₂,..., А_n независимы в совокупности, то и противоположные им события

также независимы в совокупности.

Рассмотрим решения задач на применение теоремы умножения для независимых событий.

Задача 14. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А)

Р(А) = 1 / 2. Вероятность появления герба второй монеты (событие В)

Р(В) = 1 / 2. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р(АВ) = Р(А)·Р(В) = 1/2 ·1/2 = 1/4.

Задача 15. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), P(A) = 8/10 = 0,8. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В), Р(В) = 7/10 = 0,7. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

Р(С) = 9/10 = 0,9. Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р(АВС) = Р(А)·Р (В)·Р (С) = 0,8 · 0,7 · 0,9 = 0,504.

Далее рассмотрим решения задач на совместное применение теорем сложения и умножения.

Задача 16. Вероятности появления каждого из трех независимых событий A₁, A₂, A₃ соответственно равны p ₁, р ₂, р ₃. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение. Заметим, что, например, появление только первого события A₁ равносильно появлению события (появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения: B₁ — появилось только событие A₁, т. е. В₂ — появилось только событие A₂, т. е. B₃ — появилось только событие A₃, т. е. Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий A₁, A₂, А₃, будем искать вероятность Р(B₁ + B₂ + B₃) появления одного, безразлично какого из событий B₁, B₂, B₃.

Так как события B₁, B₂, B₃ несовместны, то применима теорема сложения

Р(B₁ + B₂ + B₃) = P(B₁) + P(B₂) + P(B₃). (7)

Остается найти вероятности каждого из событий B₁, B₂, B₃.

События A₁, A₂, A₃ независимы, следовательно, независимы события поэтому к ним применима теорема умножения

Аналогично,

Подставив эти вероятности в (7), найдем искомую вероятность появления только одного из событий A₁А₂A₃:

Задача 16. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события:

А – вынули белый шар из первого ящика,
– вынули черный шар из первого ящика,
В – вынули белый шар из второго ящика,
– вынули черный шар из второго ящика.

Вероятности этих событий равны:
; ; ; .

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей

, .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.

Задача 17. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение. Обозначим события:

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1.

2. .

3.