Математические приемы анализа и обработки результатов эксперимента

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Основные понятия и виды планов.

Математическое планирование экспериментов, которое предшествует постановке физического, математического и аналогового экспериментов и сопровождает их выполнение, является средством сокращения числа экспериментов и повышения достоверности выявляемых при исследовании зависимостей. Целью математического планирования эксперимента может быть также отыскание экстремальных значений исследуемых зависимостей с наименьшей затратой средств и времени или уточнение коэффициентов в выражающих их уравнениях.

Эмпирическую зависимость, которая выявляется в эксперименте, будем называть уравнением регрессии. Она выражается функцией отклика, связывающей результат эксперимента (или параметр оптимизации) с переменными параметрами, которыми варьируют при проведении опытов:

(11.1)

Независимые переменные х ₁, x₂, ..., x_N принято называть факторами, а их значения (для каждого фактора n значений) – уровнями факторов. Координатное пространство с координатами х ₁, x₂, ..., x_N называют факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве – поверхностью отклика.

Различают основные и случайные факторы. К основным факторам относятся все изучаемые факторы, а также другие учитываемые и измеряемые факторы, служащие для стабилизации процесса. Все прочие неустраняемые факторы, не поддающиеся учету и измерению, относят к случайным факторам.

Если в эксперименте выявляется зависимость у от одного фактора х, то такой эксперимент называют однофакторным. Когда на у влияет несколько факторов, то имеет место многофакторный эксперимент.

При использовании методики однофакторного эксперимента в многофакторном эксперименте предполагается, что исследователь может с любой степенью точности стабилизировать все независимые переменные системы, затем, поочередно изменяя некоторые из них, возможно определение искомых зависимостей. Такой эксперимент называют еще пассивным.

Необоснованно завышенное число уровней факторов n, имеющее место при использовании методики однофакторного эксперимента, приводит при многофакторном исследовании к резкому увеличению необходимого числа опытов (n^N). Так, например, для полного исследования влияния четырех факторов, каждый из которых может принимать по 5 значений (5 уровней), потребуется проделать 5⁴=625 различных комбинаций экспериментов. Исследователи, пользующиеся классической методикой однофакторного эксперимента, как правило, вынуждены ограничивать число экспериментов путем исследования только части существенных факторов (уменьшение N), уменьшения числа уровней каждого из факторов (уменьшение n) или исследования влияния каждого из факторов только при некоторых частных значениях других факторов. При этом страдает прежде всего достоверность уравнения регрессии.

Под планированием эксперимента (ПЭ) понимается постановка опытов по заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами.

Можно выделить два основных направления в теории ПЭ: планирование экспериментов по выяснению механизма явлений и планирование экстремальных экспериментов. Планирование первого типа применяется для нахождения уравнения регрессии. Во втором случае экспериментатора интересуют условия, при которых изучаемый процесс удовлетворяет некоторому критерию оптимальности.

Планирование эксперимента представляет собой новый подход к исследованиям, который позволяет успешно решать наиболее важные для исследователя вопросы: сколько и каких опытов следует провести, как обработать их результаты, чтобы решить поставленную задачу с заранее заданной точностью при минимально возможном числе опытов.

Методы ПЭ применимы к любым простым и сложным системам, обладающим свойством управляемости (значения факторов можно менять по желанию экспериментатора) и необходимой степенью воспроизводимости результата.

В теплофизическом эксперименте (для исследования характеристик объектов теплоэнергетики), имеющем свою специфику, математическое планирование не нашло широкого применения, хотя необходимость в этом имеются, так как в этом случае существует воспроизводимость результатов и возможность измерять и целенаправленно изменять переменные. Теплофизический эксперимент часто обладает высоким уровнем априорной информации, т.е. процессы (например, процессы тепломассообмена и трения) с той или иной степенью приближения описываются системой дифференциальных уравнений. В таком эксперименте есть возможность предварительно выявить методами обобщенных переменных или локального моделирования зависимые и независимые обобщенные переменные. Использование этой возможности позволяет сократить число переменных, влияние которых предполагается изучать. При использовании методов ПЭ в таком эксперименте в качестве факторов следует использовать эти обобщенные переменные. В той области теплофизического эксперимента, где не удается выявить обобщенные переменные, в качестве факторов при ПЭ используют абсолютные величины влияющих параметров.

Следует отметить, что ПЭ предъявляет повышенные требования к тщательности проведения эксперимента. Статистические оценки результатов реализации плана эксперимента неизбежно отразят недостатки в экспериментировании.

В ПЭ используются понятия планов первого и второго порядков, ортогональных и ротатабельных планов. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести активный эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения. Планы второго порядка позволяют провести активный эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего вторые степени факторов. В дальнейшем увеличении порядка планов чаще всего нет необходимости.

Уравнение регрессии должно быть адекватным, т.е. оно должно в некоторой области соответствовать реальному процессу с требуемой точностью.

Ортогональные планы – это специальным образом составленные планы, обладающие диагональной матрицей системы нормальных уравнений (в такой матрице все члены, кроме расположенных по диагонали, равны нулю) и в связи с этим обеспечивающие простоту вычислений, независимость определения всех коэффициентов уравнения регрессии. Каждый коэффициент в таких планах определяется по результатам всех опытов.

Ротатабельные планы – это таким образом составленные планы, что все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией. При построении плана эксперимента каждый исследователь стремится сделать этот план в определенном смысле оптимальным. К параметрам плана, которые обычно оптимизируются, относят число опытов в плане, степень использования факторного пространства, среднюю или максимальную дисперсию найденных коэффициентов, среднюю или максимальную дисперсию результата эксперимента и т.д. Естественно, что каждому оптимизируемому параметру соответствует свой критерий оптимальности, на основании которого производят выбор наилучшего варианта плана. Используют, например А – G -оптимальные планы, обеспечивающие наименьшие значения соответственно средней дисперсии найденных коэффициентов уравнения и максимальной дисперсии результата эксперимента.

Рациональное планирование

Рациональное планирование экспериментов позволяет при минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю площадь таблицы возможных сочетаний влияющих факторов. В этом случае эксперимент планируется так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было повторных сочетаний. На рис. 11.1 показан один из возможных планов такого сочетания четырех факторов, каждый из которых может принимать пять значений.

Номер столбца средних (по значению) квадратов соответствует номеру уровня фактора х ₁, а номер строки средних квадратов – номеру уровня фактора х ₃. Из 25 возможных сочетаний факторов х ₂ и х ₄ в каждом из средних квадратов мы выбираем только одно, обозначенное зачерненной клеткой, причем в каждой строке и в каждом столбце мелких квадратов должна быть только одна такая клетка. Нетрудно убедиться, что для каждого уровня одного из факторов, например для x ₁= 1, все уровни прочих факторов встречаются одинаково часто. Так, в этом случае: х ₂ = 3, 4, 5, 2, 1; х ₃ = 1, 2, 3, 4, 5 и х ₄ = 1, 2, 3, 5, 4. Поэтому при определении результатов для х ₁= 1 влияние трех других факторов усреднится и результат будет соответствовать

Рис. 11.1. Рациональный план эксперимента для четырех факторов

и пяти уровней

Производя такое усреднение для каждого уровня фактора х ₁ можно найти зависимость результата только от этого фактора при нейтрализации влияния остальных трех факторов. Аналогично можно выявить влияние только фактора х ₂ при нейтрализации х ₁, х ₃ и х ₄. Меняя порядок усреднения, можно из одних и тех же данных 25 опытов найти влияние всех четырех первичных факторов. Таким образом, данная методика позволяет заменить полное число сочетаний влияющих факторов, равное 625, всего лишь 25 специально подобранными сочетаниями факторов, т.е. сократить объем экспериментов в 25 раз.

Методика построения комбинационных квадратов. Весь последующий анализ проводится для четырех первичных независимых друг от друга факторов. При этом решение более простых случаев зависимости результатов от трех или двух факторов может быть получено из основного случая при условии, что один или два фактора будут постоянными.

Строится большой комбинационный квадрат (рис. 11.2) и рядом помещается средний квадрат в окружении четырех таких же средних квадратов, примыкающих к нему крест-накрест (см. верхнюю часть рис. 11.2). Пронумеруем в среднем квадрате все клетки от 1 до 25. Центральную клетку в большом квадрате обозначим цифрой 13, т.е. цифрой, располагающейся в центральной клетке среднего квадрата. Затем отметим клетки отдельного среднего квадрата, идущие по диагонали слева направо и сверху вниз 1, 7, 13, 19, 25, и аналогичные им клетки в третьем столбце большого квадрата просто сверху вниз. Отметим также клетки отдельного среднего квадрата, идущие сверху вниз и справа налево, 5, 9, 13, 17, 21 и аналогичные им клетки в третьей строке большого квадрата, идущие справа налево. Таким образом, клетки, располагающиеся на диагонали отдельного среднего квадрата 1, 7, 13, 19, 25, расположатся на большом квадрате вдоль крутой наклонной линии в третьем столбце. Клетки, располагающиеся вдоль другой диагонали 5, 9, 13, 17, 21, при переносе со среднего квадрата на большой квадрат расположатся полого в третьей строке большого квадрата.

Рис. 11.2. Схема построения большого комбинационного квадрата

Если использовать этот же прием, но отсчет вести не от центральной клетки 13, а от какой-либо другой, например 19, то придется продолжить диагональ в квадраты, примыкающие к отдельному среднему квадрату, т.е. взять клетки 2, 23, 19, 15, 6. При переносе этих клеток в большой квадрат они расположатся вдоль ломаной линии в четвертой строке большого квадрата. Продолжая это построение, получаем расположение всех 25 клеток в большом комбинационном квадрате, причем все клетки будут иметь различные номера, т.е. соответствовать различным сочетаниям первичных факторов.

Аналогичными приемами могут быть построены комбинационные квадраты для 7-го, 8-го и т.д. уровней каждого из четырех факторов.

Рис.11.3 Заполненный комбинационный квадрат

Методика обработки данных. Сущность методики рассмотрим на примере для четырех факторов х ₁, х ₂, х ₃, х₄, каждый из которых может принимать одно из пяти следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5. Опыты выполнены по плану, изображенному на рис. 8.3. В клетках, обозначающих комбинации уровней факторов в опытах, записаны значения переменной величины у, полученные в результате проведения эксперимента. Данные опытов сгруппируем по значениям факторов (табл. 11.1, 11.2).

Таблица 11.1

х 2	х 1	Среднее
среднее						–

Для каждого уровня первого, второго, третьего и четвертого факторов находим средние значения величины у. Нанося в системе координат средние значения величины у, соответствующие уровням фактора х _{1 ,} получаем график зависимости у от х ₁. Аналогично строятся графики зависимостей у от остальных факторов. Согласно полученным данным функция у линейно зависит от каждого из факторов. Параметры этих зависимостей найдем с использованием метода наименьших квадратов. Так как все графики частных зависимостей величины у от каждого из факторов аппроксимируются с достаточной точностью прямыми, то зависимость у от всех факторов может быть представлена суммой частных зависимостей.

Таблица 11.2

х 4	х 3	среднее
среднее						–

Свободный член этой зависимости b₀ определяется следующим образом. Подставляя в найденное уравнение значения факторов первого опыта и величину у ₁, полученную в этом опыте, находим значение b ₀₁. Аналогично находим для последующих опытов величины b ₀₂, b ₀₃,…, b _{0 k}. Искомый параметр b ₀ определяем как среднеарифметическое величин b ₀₁, b ₀₂,…, b _{0 k}, где k – число проведенных опытов.

Таким образом, методика рационального планирования эксперимента, существенно уменьшая число необходимых опытов, позволяет исследовать некоторые многофакторные системы, однако она имеет и ряд недостатков. К числу основных недостатков отно сятся: отсутствие статистического обоснования результатов, что может привести к ошибочным выводам; ограниченная область применения (описанная методика построения плана эксперимента пригодна не для всякого числа уровней факторов); несовершенство и недостаточная обоснованность способа получения эмпирических зависимостей.

Эти недостатки устраняются в методах статистического планирования эксперимента.

Планирование первого порядка

Представление неизвестной функции отклика (12.1) полиномом является наиболее удобным. На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии в этом случае имеет вид

(12.2)

Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного выше теоретического уравнения, имеет вид

(12.3)

где коэффициенты регрессии являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии , т.е.

Выбор основных факторов и их уровней. В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданных уровнях. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Для выяснения наиболее важных факторов анализируется априорная информация, ранее проведенные аналитические и экспериментальные исследования. При необходимости с этой целью проводят специальные опыты, получившие название «отсеивающий эксперимент».

Для каждого фактора надо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов (при оптимизации они выбираются так, чтобы их комбинации давали наилучший результат или близ кий к нему). Этой комбинации значений факторов соответствует многомерная точка в факторном пространстве, которая и принимается за исходную точку при построении плана эксперимента. Координаты этой точки называют основными (нулевыми) уровнями факторов.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора. Этот интервал принимается за единицу нового масштаба измерения фактора. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний – 1, а основной соответствовал 0.

Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью формулы преобразования

(12.4)

где x_i – кодированное значение фактора; – значение фактора в натуральных единицах; – значение основного уровня в натуральных единицах; – единица масштаба (интервал варьирования); i – номер фактора.

Выбор интервалов варьирования производится на основе опыта и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов, оценивать силу влияния фактора на отклик у, погрешность измерения величины у. Все это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение у.

Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении: задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспериментов такую единицу масштаба, которая давала бы возможность для шагового движения к оптимуму. При описании процесса единица масштаба должна охватывать всю область, подлежащую описанию интерполяционным полиномом.

Минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка интерполяционного полинома. Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить m параллельных опытов (обычно m = 2 ÷ 4), осреднение результатов которых дает возможность уменьшить погрешность оценки истинного значения отклика в раз. Эксперимент делится на m серий опытов. В каждой серии последовательность опытов рандомизируется, т.е. с помощью таблицы случайных чисел определяется случайная последовательность реализации опытов в каждой серии. Рандомизация: позволяет ослабить или исключить вовсе влияние неконтролируемых случайных или систематических погрешностей на результаты исследования.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Полным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций равно 2 ^N. Нахождение уравнения регрессии методом ПФЭ состоит из: а) планирования эксперимента; б) собственно эксперимента; в) проверки воспроизводимости (однородности выборочных дисперсий); г) получения уравнения регрессии с проверкой статистической значимости коэффициентов регрессии; д) проверки адекватности уравнения регрессии.

Таблица 12.3

№ точки плана (v)									Отклик
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	у 1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	у 2
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	у 3
	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	у 4
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	у 5
	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	у 6
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	у 7
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	у 8

Условия эксперимента записывают в виде матрицы планирования. Пример матрицы планирования для трех факторов дан в табл. 12.3. Здесь столбцы х ₁, х ₂, х ₃ образуют матрицу плана. Эти столбцы задают планирование – по ним определяются условия опытов. Последующие столбцы матрицы получаются перемножением соответствующих значений факторов х ₁, х ₂, х ₃. В матрицу добавляется еще один столбец – фиктивная переменная х ₀ для расчета свободного члена b ₀ в уравнении регрессии. Значение х ₀ одинаково во всех строчках и равно +1.

Матрицу плана можно представить геометрически (рис. 12.4). Условия проведения опытов соответствуют координатам вершин куба, центром которого является основной уровень, а ребра соответственно параллельны координатным осям, их длина равна. двум интервалам. Номера вершин куба соответствуют номерам точек в матрице планирования.

Рис. 12.4. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 2³

Можно наглядно показать, что точность определения уравнения регрессии с использованием методов ПЭ выше. Иллюстрируем сказанное примером. Пусть требуется найти коэффициенты регрессии b ₀ и b ₁ уравнения y = b ₀ + b ₁ x по двум опытам. При одинаковых погрешностях с увеличением интервала или радиуса области изменения фактора х точность определения коэффициентов регрессии растет. Перенесем этот принцип повышения точности линейного уравнения регрессии на многофакторные процессы. Это можно сделать двумя путями. Первый путь – увеличение интервалов варьирования по каждому фактору (точно так же, как и в однофакторном процессе). Однако в многофакторном пространстве есть еще один принципиально иной путь увеличения радиуса области изменения факторов – путь одновременного варьирования уровней всех факторов без увеличения интервала каждого фактора. Рассмотрим, что это дает при N = 2 (при –1, +1). Опыты, спланированные по методике однофакторного эксперимента, в факторном пространстве, очевидно, будут представлены точками (0, +1), (0, –1), (+ 1, 0), (–1, 0) (рис. 12.5), лежащими на осях x ₁ и x ₂.

Если же изменить значения уровней факторов одновременно,, то точки плана, построенного в соответствии с концепцией многофакторного эксперимента, расположатся в вершинах внешнего квадрата (+1, +1), (–1, +1), (–1, –1), (+1, –1) (рис. 8.5). Ясно, что при этом исследованная область изменения факторов будет больше. Отметим, что этот эффект тем ощутимее, чем больше размерность N факторного пространства. В самом деле, при планировании по методике однофакторного эксперимента опорные точки всегда располагаются на концах хорд длиной 2 единицы, при многофакторном планировании опорные точки располагаются на концах диаметров, длина которых 2, т. е. в раз больше.

При N = 2 построение матриц ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матриц. Рассмотрим два наиболее простых приема. Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки чередуются поочередно, во втором – через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8, в пятом – через 16 и т.д. по степеням двойки. Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем – на нижнем.

Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств, делающих их оптимальным средством получения уравнения регрессии по результатам эксперимента. Для любого числа факторов коэффициенты будут вычисляться по формуле

(12.5)

где i = 0, 1, 2,.., N – номер фактора; - средний отклик по m опытам в точке с номером v (здесь j – номер параллельного опыта в точке v); k – число опытов в матрице.

Планирование эксперимента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения связи подвергаются тщательному статистическому анализу с целью извлечь из результатов эксперимента максимум информации и убедиться в достоверности полученной зависимости и ее точности.

Каждый эксперимент несет в себе какую-то погрешность, для повышения надежности производят повторения опытов при тех же условиях, т.е. повторяют для каждой строки таблицы планирования.

Построчные дисперсии подсчитывают по формуле

(12.6)

где m – число повторных опытов в точках плана.

Дисперсия отклика s ²{ y } есть среднеарифметическая дисперсий всех k различных вариантов опытов:

(12.7)

Прежде чем производить объединение дисперсий, надо убедиться в их однородности. Проверка производится с помощью критериев Фишера и Кохрэна. Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если экспериментальное значение критерия Кохрэна или Фишера не превышает табличного значения.

Далее на основе метода наименьших квадратов находится уравнение регрессии, после чего предстоит выполнить статистические оценки полученного уравнения.

Проверка значимости каждого коэффициента проводится независимо. Для этого можно использовать проверку по t -критерию Стьюдента. Прежде всего, находят дисперсию коэффициента регрессии. При равномерном дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов т она определяется по формуле

(12.8)

Далее рассчитываются значения t_i -критерия. Если t_i>t_кр, то коэффициент b_i признается значимым, в противном случае b_i считается статистически незначимым, т.е. b_i = 0. После этого уравнение регрессии составляется в виде уравнения связи выходного параметра у и переменных х_i, включающего только значимые коэффициенты.

После вычисления коэффициентов уравнения необходимо прежде всего проверить его пригодность или адекватность. Для этого достаточно оценить отклонение выходной величины у, предсказанной уравнением регрессии, от результатов эксперимента у в различных точках факторного пространства.

Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения связи, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно охарактеризовать с помощью остаточной дисперсии или дисперсии адекватности , оценка которой, справедливая при равном числе дублирующих опытов, находится по формуле

(12.9)

где r – число членов аппроксимирующего полинома.

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией адекватности и дисперсией воспроизводимости s ²{ y } и проводится с использованием критерия Фишера F, который в данном случае формируется как отношение Если вычисленное значение критерия меньше критического F _кр для соответствующих степеней свободы и при заданном уровне значимости a, то описание признается адекватным объекту.

Дробный факторный эксперимент. Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто нужно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов. Поэтому использовать полный факторный эксперимент для определения коэффициентов лишь при линейных членах и парных произведениях неэффективно из-за реализации большого числа опытов (2^N), особенно при большом числе факторов N. При увеличении числа независимых переменных N число опытов (число точек в плане) растет по показательной функции, т.е. число оцениваемых коэффициентов N+1 становится меньше числа точек плана 2^N, в результате чего остается излишне много степеней свободы на проверку гипотезы адекватности. Разность будет в этом случае характеризовать избыточность плана; например, при N = 2; при N = 4; уже при N = 6 и т.д.

Полная матрица планирования (см. табл. 12.3) позволяет рассчитать восемь коэффициентов уравнения. Если есть основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной зависимостью, то достаточно определить четыре коэффициента b ₀, b ₁, b₂, и b ₃ уравнения

. (12.13)

Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании ПФЭ для двух факторов (2²) использовать столбец табл. 8.5 x ₁ x ₂ в качестве плана для х ₃ (табл. 8.6).

Таблица 12.5 Таблица 12.6

v	x 0	x 1	x 2	х 3
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1

v	x 0	x 1	x 2	x 1 x 2
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1

Такой сокращенный план – половина ПФЭ 2³ – носит название полуреплики от ПФЭ 2³. Пользуясь таким планированием, можно определить свободный член и три коэффициента уравнения регрессии при линейных членах.

Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны нулю, то найденные коэффициенты b будут смешанными оценками для теоретических коэффициентов :

(12.14)

Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов. Для того чтобы определить, какие теоретические коэффициенты смешаны, удобно пользоваться таким приемом: поставив на место , получим соотношение называемое генерирующим соотношением. После умножения его на х ³ получаем . Учитывая, что (х ³ равняется + 1 или –1), получаем

. (12.16)

Это произведение носит название определяющего контраста; с его помощью удобно определять, в каких столбцах содержатся одинаковые элементы, т.е. какие коэффициенты смешаны.

Умножив по очереди определяющий контраст на х ₁, х ₂, х ₃ найдем

.

Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок (8.14), т.е. смешан с .

При использовании дробного факторного эксперимента (ДФЭ) необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробной реплики, т. е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих теоретических коэффициентов. Тогда в зависимости от поставленной задачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Например, в задаче с четырьмя факторами (N = 4) в качестве генерирующего соотношения можно взять или любой из эффектов двойного взаимодействия, например .

Воспользовавшись определяющим контрастом , получим такую систему смешанных оценок:

В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Значит, если нас более всего по физическому смыслу задачи интересуют оценки для линейных эффектов, следует выбирать генерирующее соотношение .

При генерирующем соотношении определяющий контраст выражается соотношением . Получается следующая система оценок

Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффициенты и .- Применяют дробные реплики и большей степени дробности (1/8 реплики, 1/4 реплики и т.п.).

Дробные реплики позволяют резко сократить число экспериментов для описания процесса. Следует иметь в виду, однако, что применение ДФЭ имеет весьма серьезный недостаток – исключаются из исследования некоторые взаимодействия факторов. Как правило, весьма затруднительно даже в практически известных процессах априорно установить отсутствие взаимодействия факторов. Поэтому использование ДФЭ, особенно большой дробности, требует весьма осторожного подхода.

Рассмотрим пример использования дробного факторного эксперимента. Исследования тепло-массообмена при конденсации химически реагирующего газа на основе теории подобия показали, что процесс можно описать уравнением подобия вида

, (12.17)

где Nu_D – диффузионное число Нуссельта; члены в правой части характеризуют влияние отдельных факторов на процесс (Аr – свободной конвекции, Sc – переносных свойств газовой смеси, К_х – кинетики химических реакций, Re _T – отводимого теплового потока, r – концентрации неконденсируемого газа, – трения на границе раздела жидкой и газообразной фаз).

Для определения коэффициентов уравнения применим метод планирования. Прологарифмировав (8.17) и перейдя от натуральных значений факторов к кодированным значениям x_i согласно формуле преобразования (12.4), получим следующее линейное уравнение регрессии процесса:

, (12.18)

где .

Поскольку зависимость (12.18) линейная, для определения величин b ₀ и b_i можно составить ортогональный план первого порядка на основе 1/8 реплики ПФЭ для шести факторов с числом опытов, равным 2^6-3=8. При этом будем использовать следующие генерирующие соотношения: Матрица планирования приведена в табл. 8.7.

Таблица 12.7

v	x 0	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	y
	+	-	-	-	-	+	+	y 1
	+	+	-	-	-	-	-	y 2
	+	-	+	-	+	-	+	y 3
	+	+	+	-	-	+	-	y 4
	+	-	-	+	+	+	-	y 5
	+	+	-	+	-	-	+	y 6
	+	-	+	+	-	-	-	y 7
	+	+	+	+	+	+	+	y 8

Проведение опытов, обработка опытных данных с целью получения коэффициентов уравнения (12.18) и их статистический анализ выполняются в такой же последовательности, как и в предыдущем примере.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Способы проверки полученных результатов

При проведении физического, аналогового или математического эксперимента даже использование самых современных средств измерений, тщательно проверенных методик проведения эксперимента и обработки его результатов, отлаженных и апробированных вычислительных программ для ЭВМ и т.д. не гарантирует от получения недостоверных результатов. Причинами получения недостоверных данных могут быть: выход из строя средств измерений во время эксперимента, промахи, допущенные при снятии показаний приборов, ошибки, допущенные при подготовке исходных данных для аналогового или математического эксперимента, сбой в работе ЭВМ, потеря устойчивости вычислительного алгоритма и пр.

Для того чтобы исключить влияние указанных случайностей на результаты экспериментов, исследователь должен предусмотреть систему проверок результатов эксперимента.

Применение законов сохранения. Возможна проверка только тех опытных данных, для которых можно записать одно или несколько уравнений сохранения (уравнения сохранения массы, количества движения, энергии, электрического заряда и т.д.). Критерием достоверности результатов эксперимента является удовлетворение их с требуемой точностью уравнению сохранения.

Использование известных закономерностей поведения исследуемой величины. Иногда еще до проведения эксперимента теоретически или из анализа физической природы явления можно определить значение исследуемой величины в некоторых характерных точках системы, например ее предельное значение, а также оценить степень влияния на нее различных факторов. Так, сила тока равна нулю при нулевом напряжении, тепловой поток между телами равен нулю при отсутствии между ними перепада температуры и неограниченно возрастает при его неограниченном увеличении и т.д.

Проверка результатов эксперимента рассматриваемым методом заключается в сопоставлении данных, полученных в процессе исследования, с имеющимися сведениями о характере их изменения.

Анализ резко отклоняющихся значений. Практически почти в каждом эксперименте среди опытных данных содержится некоторое число точек, существенно отклоняющихся от общей закономерности. Часть этих точек или даже все они могут быть ошибочными, и их следует отбросить, чтобы они не могли, исказить результатов эксперимента и повлиять на окончательные выводы. Однако при отбрасывании таких точек существует риск исключить верные данные и потерять важные результаты, поскольку отклонение опытных точек может быть обусловлено физической природой явления, поэтому при их выбраковке следует руководствоваться следующими правилами:

а) резко отклоняющиеся точки необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения, если их ошибочность подтверждена с помощью какого-либо другого метода;

б) если подтвердить ошибочность опытных точек с помощью других методов не удалось, то точки, лежащие вблизи границ диапазона изменения в экспериментах влияющего параметра, необходимо сохранить, так как они могут характеризовать особенности изучаемого явления; точки, лежащие в середине этого диапазона, следует сохранить только в том случае, если статистический анализ данных подтверждает принадлежность этих точек и всей остальной массы к одной и той же совокупности.

После получения достаточного количества экспериментальных данных и отсева ошибочных результатов проводят их дальнейший анализ и обработку. Для этого приходится аппроксимировать опытные данные аналитической функцией, выполнять операции интерполяции и экстраполяции, дифференцировать и интегрировать полученные результаты и т.д.