Формула полной вероятности. Рассмотрим теперь случай, когда событие А может произойти в сочетании с одним из m попарно несовместных событий одно из которых обязательно происходит

Рассмотрим теперь случай, когда событие А может произойти в сочетании с одним из m попарно несовместных событий одно из которых обязательно происходит. Таким образом, объединение этих событий совпадает со всем пространством элементарных исходов:

В рассмотренном выше примере с дальтонизмом имеются два события (женщина) и (мужчина). Очевидно, что - дальтоник всегда является либо женщиной, либо мужчиной. Однако, известно, что вероятность дальтонизма у женщин существенно ниже вероятности дальтонизма у мужчины.

Поскольку объединение , совпадает со всем пространством элементарных исходов, а событие А происходит с одним из H_j, то имеет место очевидное соотношение:

Ввиду попарной несовместности событий правило сложения вероятностей дает:

Применяя теперь к каждому слагаемому формулу умножения вероятностей, получим формулу полной вероятности:

Краткая запись формулы полной вероятности имеет следующий вид:

Применим формулу полной вероятности для решения следующейих задач.

Задача 1. В урне находится три белых и четыре черных шара, отличающихся только цветом. Из урны наугад вынимается один шар и, не глядя, прячется. После этого из урны берется второй шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Обозначим через H₁ событие, состоящее в том, что первый шар был белым, через H₂ - событие, состоящее в том, что первый шар был черным, через А обозначим событие, состоящее в том, что второй шар белый.

Используя классический подход к определению вероятностей, легко вычисляются следующие значения:

,

Теперь искомая вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Задача 2. В монтажном цехе к устройству присоединяют электродвигатели. Электродвигатели поставляются тремя заводами. На складе имеются электродвигатели этих трёх заводов в количестве 19, 6 и 11 штук соответственно. Электродвигатели каждого из заводов могут работать безотказно до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85; 0,76; 0,71. Рабочий берёт наугад двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность безотказной работы электродвигателя до конца гарантийного срока.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что электродвигатель проработает безотказно до конца гарантийного срока, - рабочий взял двигатель первого завода, - рабочий взял двигатель второго завода, - рабочий взял двигатель третьего завода. Теперь могут быть вычислены значения следующих вероятностей:

Условные вероятности события А даны в условии задачи:

Вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Подставляя в эту формулу соответствующие числовые значения, получаем искомый результат:

.