Средняя энергия классического осциллятора

Энергия одномерного осциллятора выражается через импульс p и координату q:

В классической статистике равновесное распределение частиц (в данном случае осцилляторов) по энергиям определяется формулой

Поэтому средняя энергия равна

Введем обозначения

тогда

В последнем интеграле переменные P и Q разделяются. После сокращения общих множителей в числителе и знаменателе приходим к формуле

Интегралы в числителе и знаменателе обоих слагаемых могут быть приведены к виду

Поскольку в нашем случае n принимает только два значения: 0 и 2, то подынтегральная функция в (3.2) — четная и выражение для интегралов I _0,2 могут быть записаны в виде

С помощью последней формулы перепишется выражение для энергии:

Для вычисления интегралов I_n воспользуемся определением гамма–функции

из которого следует

Тогда интегралы I_n запишутся в виде

Теперь можно выписать интересующее нас выражение для средней

энергии одномерного осциллятора

.

Мы получили известный результат: в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы приходится энергия T /2, а в сумме на один осциллятор — энергия T.

Вернемся к формуле (2.1). Подставляя в неё величину средней энергии из (3.3), получим

.

Итак, закон Рэлея–Джинса получается на основании классических рассуждений.

2.4 Квантовый осциллятор

Как отмечалось выше, формулу Вина нельзя получить на основании классических представлений. Планку удалось воспроизвести спектр излучения чёрного тела во всём диапазоне частот после того, как он высказал предположение о дискретности энергетического спектра осцилляторов. Гипотеза Планка входила в явное противоречие с представлениями классической физики. Согласно Планку, испускание и поглощение излучения происходит порциями энергии (квантами)

(4.1) ε₀= ħ ω,

где ω — частота осциллятора. Сам осциллятор находится в дискретных энергетических состояниях

(4.2) E = E_n = n ε₀ = n ħ ω,

пронумерованных целым неотрицательным числом

(4.3) n = 0, 1, 2, …

Таким образом, энергетические уровни осциллятора образуют, как говорят, эквидистантный спектр: разность энергии любых двух соседних уровней одна и та же — ħ ω. Спектр энергии в таком случае представляет собой дискретный набор уровней. Осциллятор может находится в каждом из этих состояний, а при переходах между соседними состояниями излучается или поглощается энергия ħ ω.

Согласно гипотезе Планка, чтобы найти среднюю энергию одномерного осциллятора, нужно интегралы в (3.1) заменить суммами:

.

Введя обозначение

,

перепишем выражение для <E> в виде:

.

Делитель

(4.5) B = 1 + e^–x + e^{– 2 x} + e^{– 3 x} + …+ e ^{– nx} + …

представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем e ^{– x} :

.

Если продифференцировать ряд (4.5) по x, то получим

,

откуда следует выражение для A:

.

Теперь легко убедиться, что искомое отношение A/B равно

.

Итак, средняя энергия кванта определяется температурой излучения T и элементарной порцией энергии ħ ω:

.

Полезно выделить так называемые числа заполнения

,

которые представляют собой число фотонов, приходящихся на одну моду колебаний. Тогда

Подставляя (4.6) и (2.8) в (2.1), получим полное выражение для плотности энергии с учётом квантовых эффектов:

.

Это есть окончательное выражение для формулы Планка, дающей спектр излучения абсолютно чёрного тела во всём диапазоне частот. Спектральное распределение числа фотонов легко получается из плотности энергии:

Ниже будут приведены формулы для интенсивности излучения и потока от границы чёрного тела.