Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея

Рассмотрим две системы отсчета (рис. 24.1). Систему обозначенную , будем считать неподвижной, систему - подвижной; ее скорость относительно неподвижной системы постоянна и равна . Координатные оси систем выберем так, что бы они были параллельны друг другу; в начальный момент времени начало координат систем совпадает; скорость направлена вдоль оси х. (Такое расположение осей выбрано для упрощения вида нижеприведенных уравнений. Выводы, которые будут получены, справедливы для любого взаимного расположения систем и ).

Найдем связь координат некоторой точки “р” в системе с ее координатами в системе . Из рис. (24.1) видно

(24.1)

(Последнее из равенств (24.1) означает, что длительность некоторого события в системе и - одинаковое). Уравнения (24.1) называются преобразованиями Галилея.

Найдем связь между скоростями точки “р” по отношению к системе отсчета и :

Из (24.1) следует: ,

аналогично

, (24.2)

где - скорость точки относительно системы , -скорость точки относительно системы , -скорость подвижной системы относительно неподвижной системы. Соотношение (24.2) дает правило сложения скоростей в классической механике.

Найдем ускорение в системе и :

После дифференцирования (24.2) получим (учитывая, что ):

(24.3)

Отсюда следует, что ускорение тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, одинаковое. В частности, если одна из систем инерциальная (т.е. при отсутствии сил ), то и остальные будут инерциальными (т.е. ).

Второй закон Ньютона в системе и будет иметь вид:

(24.4)

Из (24.3) и (24.4) следует, что силы, действующие на тело в системе и тоже одинаковые. Следовательно, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. уравнения динамики инварианты по отношению к преобразованиям координат от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета эквивалентны: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом. Это утверждение носит название принцип относительности Галилея.

§ 25. Постулаты Эйнштейна.
Преобразования Лоренца, следствия из них

Специальная теория относительности Эйнштейна (релятивистская механика) основана на двух постулатах (утверждениях), которые носят названия принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света

Принцип относительности Эйнштейна является распространением принципа относительности Галилея (механического принцип относительности) на все физические явления. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, уравнения, выражающие законы природы, инварианты по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приёмников света

Возьмём две инерциальных системы отсчета, аналогичных тем, что рассмотрены в § 25: система неподвижная, система двигается относительно системы со скоростью . Для того чтобы выполнялись постулаты Эйнштейна переход от координат и времени, отсчитанных в системе , к координатам и времени, отсчитанных в системе , должен выполнятся согласно следующим соотношениям:

(25,1)

где с - скорость света. Уравнения (25.1) называются преобразования Лоренца.

При V₀<< C величину V₀/C можно принять равной нулю. В таком случае преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Следовательно, преобразования Галилея можно применять при скоростях малых по сравнению со скоростью света (это же утверждение относится и ко всей нерелятивистской физике).

Рассмотрим ряд следствий, вытекающих из преобразований Лоренца.

I. Длительность событий в разных системах отсчёта. Пусть в точке, двигающейся относительно системы со скоростью V_0, происходит некоторое событие, продолжающееся определённый промежуток времени. Свяжем с этой точкой систему отсчета - точка относительно системы покоится, система двигается относительно системы со скоростью V₀ (рис. 25.1). Началу события в системе соответствует некоторый момент времени , концу события - , событие происходит в одной и той же точке с координатой . Длительность события в этой системе координат равно . Время - это время, измеренное по часам, движущимся со скоростью тела, в котором происходит событие. Это время называют собственным временем тела.

Найдем длительность этого события в системе . В этом случае длительность события определяется по неподвижным часам. Началу события в этой системе отсчёта соответствует момент времени , концу события - . Время и согласно преобразованиям Лоренца (25.1) равны:

(25.2)

Длительность события в системе :

(25.3)

Подставим в (25.3) ур-я (25.2):

(25.4)

Из ур-я (25.4) следует, что , поэтому можно сказать, что движущееся часы идут медленнее, чем покоящиеся, а собственное время наименьшее.

II. Длина тел в разных системах. Пусть имеется стержень, расположенный вдоль оси x и двигающийся со скоростью V₀. Аналогично пункту I можно показать, что длина стержня в системе (т.е. длина покоящегося стержня) и длина стержня в системе (т.е. длина, измеренная в системе относительно которой он движется) разная. Повторяя рассуждения пункта I, получим:

(25.4)

Видно, что , т.е. у движущихся тел размеры их в направлении движения меньше, чем у покоящихся. Это явление называется лоренцевым сокращением.

III. Сложение скоростей. Для упрощения формул будем считать, что скорость частицы параллельна оси х. тогда модуль скорости частицы в системе и соответственно равен:

(25.5)

Продифференцируем первое и последнее уравнение преобразований Лоренца (25.1)

(25.6)

. (25.7)

Разделим ур-е (25.6) на (25.7) и учтём (25.5):

(25.8)

В случае малых скоростей V₀ << C формула (25.8) переходит в формулу сложения скоростей классической (нерелятивистской) механики
(§ 24,ур-е (24.2)).

Пусть скорость . Из (25.8) получим:

,

что согласуется со вторым постулатом Эйнштейна.

Основные понятия релятивистской динамики

В релятивистской динамике импульс частицы равен:

, (26.1)

где (26.2)

В этих уравнениях V - скорость частицы, m₀ - величина не зависящая от скорости тела. Сравнивая ур-я (26.1),(26.2) с выражением для импульса в классической механике (§ 6, ур-е(6.3)), можно сказать, что и в релятивистской динамике импульс равен произведению массы m на скорость. Однако в этом случае масса зависит от скорости по закону (26.2). В такой трактовке m₀ называют массой покоя, а m - релятивистской массой или массой движения.

Релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид:

(26.3)

Для того чтобы найти энергию поступим так же, как в § 11 - работа силы равна приращению энергии:

(26.4)

Подставив в (26.4) ур-е (26.3) и проинтегрировав результат, можно получить:

(26.5)

Если частица покоится (V = 0), получим энергию покоя E₀:

(26.6)

(В энергию Е не входит потенциальная энергия во внешнем силовом поле).

Кинетическая энергия Е_к равна разности энергий движущейся частицы и энергии покоя:

. (26.7)

При V = С подкоренное выражение в знаменателе в уравнениях релятивистской динамики стремится к . Если , то эти уравнения теряют смысл. Это означает, что частица с массой покоя не может двигаться со скоростью света

Все вышеприведенные уравнения (конечно, за исключением ур-й (26.5),(26.7)) при V << С переходят в уравнения классической физики

Исключив из (26.1) и (26.5) скорость V, получим связь между энергией и импульсом:

(26.8)

Из этих же уравнений следует:

(26.9)

При из (26.8) получим:

(26.10)

Это соотношение согласуется с (26.9) если V = C. Следовательно, частица с массой покоя равной нулю, всегда движется со скоростью света. В частности такой частицей является фотон. Импульс такой частицы может быть найден из соотношения (26.10).