Термин считается распределенным, если он взят в полном объеме. Термин считается нераспределенным, если он взят в части объема. 3 страница

Все металлы - электропроводны - большая посылка

Железо есть металл - меньшая посылка

Железо - электропроводно - вывод

Для проверки правильности энтимемы важно уметь восстанавливать ее соответственно той или иной фигуре простого категорического умозаключения; проверять соблюдение правил этой фигуры и на этом основании решать, дает ли такая энтимема необходимо истинный вывод или он лишь правдоподобен. Поскольку определяющим элементом простого категорического силлогизма является средний термин, то он и будет выступать главным ориентиром в восстановлении энтимемы до полного силлогизма. В энтимеме суждение, в котором находится средний термин, будет определенно одной из посылок. Суждение, в котором нет среднего термина - вывод. В выводе же присутствует как меньший, так и больший термины и по этому показателю легко определить, какая же из посылок пропущена и по какой фигуре построено рассуждение.

Эпихейрема - умозаключение, посылками которого выступают энтимемы. Понятно, что такое умозаключение нельзя рассматривать только как сокращенное — скорее, оно сложносокращенное. Например:

Все студенты сдают экзамены, так как они - учащиеся

Этот молодой человек - студент, так как он учится на нашем факультете

Этот молодой человек сдает экзамены

В этом примере каждая из посылок является энтимемой с пропущенной большей посылкой, хотя теоретически возможны и другие случаи. Восстановим эти посылки и проверим, не нарушены ли тут требования логики к умозаключениям этого вида (пропущенные посылки выделим скобками):

(Все учащиеся сдают экзамены)

Все студенты - учащиеся

Все студенты сдают экзамены.

Это первая энтимема. Восстановим теперь вторую:

(Все учащиеся нашего факультета — студенты)

Этот молодой человек — учащийся нашего факультета

Этот молодой человек — студент.

Вывод первой и вывод второй энтимем выступают, в свою очередь, посылками для окончательного вывода эпихейремы:

Все студенты сдают экзамены

Этот молодой человек — студент

Этот молодой человек сдает экзамены

Таким образом, эпихейрему составляют не два, как может показаться на первый взгляд по числу посылок, а три отдельных силлогизма.

В виде схемы эпихейрема записывается так:

S1 есть Р, так как S1 есть М

S есть S1, так как S есть М1

S есть Р.

Сопоставление схемы и содержательного примера показывает, какой же именно элемент пропущен в эпихейреме, а восстановленные силлогизмы - что в данном случае не нарушено ни одно из правил категорического силлогизма. Связующим звеном в данной эпихейреме, средним термином между ее посылками-энтимемами выступает понятие, обозначенное символом S1. В пропущенных же посылках устанавливается связь понятий, обозначенных на схеме символами М и M1.

Полисиллогизм и сорит. Ряд силлогизмов, в которых вывод предшествующего силлогизма (просиллогизма) становится посылкой следующего силлогизма (эписиллогизма), называется полисиллогизмом. Если вывод просиллогизма становится боль­шей посылкой эписиллогизма, то полисиллогизм называется прогрессивным; если же вывод просиллогизма становится меньшей посылкой эписиллогизма, то полисиллогизм называется регрессивным. Понятно, что эписиллогизм, в свою очередь, становится просиллогизмом для следующего за ним силлогизма и т. д.

Содержательный пример прогрессивного полисиллогизма:

Все позвоночные имеют красную кровь

Все млекопитающие - позвоночные 1-й силлогизм (просиллогизм)

Все млекопитающие имеют красную кровь

Все хищники - млекопитающие 2-й силло­гизм (эписиллогизм)

Все хищники имеют красную кровь

Тигры - хищники 3-й силлогизм

Тигры имеют красную кровь.

Схему подобного силлогизма можно представить в следующем виде:

М --- Р

S --- M - 1-й (про) силлогизм

S --- P

B --- S - 2-й (эпи) силлогизм

B --- P

С --- B - 3-й силлогизм

C --- Р

Содержательный пример регрессивного полисиллогизма:

Все позвоночные - животные

Тигры - позвоночные - 1-й (про)силлогизм

Тигры - животные

Все животные - организмы

Тигры - животные - 2-й (эпи)силлогнзм

Тигры - организмы

Все организмы стареют

Тигры - организмы - 3-й силлогизм

Тигры стареют

Так как в регрессивном полисиллогизме вывод просиллогизма становится меньшей посылкой эписиллогизма, то его схема усложненнее, чем схема прогрессивного полисиллогизма, приходится переставлять вывод просиллогизма на место меньшей посылки эписиллогизма. Правда, схему можно значительно упростить за счет такого условия — ставить меньшую посылку на первое место, а большую посылку записывать под меньшей, тогда формульная запись будет выглядеть проще:

S есть М

M есть P - 1-й (про)силлогизм

S есть Р

Р есть B - 2-й (эпи)силлогизм

S есть В

B есть C - 3-й силлогизм

S есть C

Сокращенным полисиллогизмом является сорит. Сорит — такой полисиллогизм, в котором пропущены посылки, а точнее — промежуточные выводы, выводы просиллогизмов, становящиеся большей или меньшей посылкой следующих силлогизмов (эписиллогизмов). Соответственно этому различают два вида соритов: аристотелевский и гоклениевский.

В аристотелевском сорите пропущенными являются меньшие посылки эписиллогизмов, в гоклениевском - наоборот. Гоклениевский сорит назван по имени марбургского профессора Рудольфа Гоклена (1547—1628), обстоятельно рассмотревшего этот вид сокращенного полисиллогизма. Например:

Аристотелевский сорит:

Все студенты - учащиеся

Мой знакомый - студент

Все учащиеся - молодые люди

Все молодые люди - взрослеют

Мой знакомый - взрослеет

Гоклениевский сорит:

Все студенты - учащиеся

Все мои друзья - студенты

Все мои юные родственники - мои друзья

Этот спортсмен - мой юный родственник

Этот спортсмен - учащийся

Пропущенными здесь являются промежуточные выводы, они же и посылки следующих силлогизмов. В аристотелевском сорите пропущены промежуточные выводы просиллогизмов, являющиеся меньшей посылкой эписиллогизмов: "Мой знакомый - учащийся" и "Мой знакомый - молодой человек". В гоклениевском сорите пропущены выводы просиллогизмов, являющиеся большими посылками эписиллогизмов, а именно: "Все мои друзья - учащиеся" и "Все мои юные родственники - учащиеся".

Данные примеры для простоты их восприятия и анализа построены по упрощенной схеме - по модусу Barbara первой фигуры, что, естественно, не обязательно. Но в ином случае довольно сложно соблюдение силлогистических правил без их специального выделения. Правил для полисиллогизма и сорита специально не выделяют, что понятно, потому что ими являются все уже известные правила посылок для фигур и модусов. Но выделение их все же практичнее, потому что обращает внимание на руководящие признаки.

Знакомство с полисиллогизмами, а тем более с соритами, показывает сколь сложны эти мыслительные структуры и как легко допустить, особенно в соритах, ошибки. Однако, строго говоря, все научные трактаты, да и любые другие работы, должны представлять собой, по мере выделения в них главных идей и мыслей, именно подобный ряд силлогизмов, которые должны представлять собой, как выражался кот Бегемот в "Мастере и Маргарите" М.Булгакова, "вереницу прочно упакованных силлогизмов, которые оценили бы по достоинству такие знатоки, как Секст Эмпирик, Марциан Капелла, а то, чего доброго, и сам Аристотель". Подобный анализ не только научных работ, а и более простых - дело, тем не менее, не простое, но иного способа человечество пока предложить не может. Чтобы облегчить хотя бы частично подобный анализ, сформулируем правила полисиллогизмов (и соритов):

- общеутвердительный вывод возможен только тогда, когда все посылки - суждения общеутвердительные;

- если одна из посылок частное суждение, то вывод будет обязательно частным, но все остальные посылки должны быть общими;

- если одна из посылок отрицательное суждение, то вывод будет обязательно отрицательным, а все остальные посылки должны быть утвердительными;

- если первая посылка частное суждение, то только последняя может быть отрицательной;

- если первая посылка отрицательная, то только последняя может быть частной.

42.

Исторические этапы развития логики

С развитием трудовой материально-производственной деятельности людей совершенствовались их мыслительные способности, а это привело к тому, что объектом исследования становится само мышление, его формы и законы.

Отдельные логические проблемы возникли в I тыс. до н. э. сначала в Древней Индии и Китае, а затем в Древней Греции и Риме. Постепенно они оформляются в стройную систему знаний, в самостоятельную науку.

Основными причинами возникновения логики являются развитие наук и ораторского искусства. Наука основывается на теоретическом мышлении, предполагающем умозаключения и доказательства. Отсюда необходимость исследования самого мышления как формы познания. Ораторское искусство проявлялось прежде всего в многочисленных судебных заседаниях как потрясающая умы сила убеждения, буквально заставляющая слушателей склониться к тому или другому мнению. Логика возникает как попытка раскрыть тайну этой принудительной силы речей.

В Древней Греции логику разрабатывали Парменид, Зенон, Демокрит, Сократ, Платон. Однако основателем науки логики считается величайший мыслитель древности, ученик Платона – Аристотель (384–322 до н. э.). Он называл свое творение аналитикой, термин «логика» вошел в научный оборот позднее, в III в. до н. э.

После Аристотеля в Древней Греции логика разрабатывалась стоиками. Древнеримские политические деятели Цицерон и Квинтилиан, арабоязычные ученые – Аль Фараби, Ибн Рушд, европейские средневековые схоласты – У Оккам, П. Абеляр.

В эпоху Нового времени философ Ф. Бекон (15611626) опубликовал свое исследование под названием «Новый Органон», в нем содержались основы индуктивных методов, усовершенствованные позже Д.С. Миллем (1808–1873) и получившие название методов установления причинных связей между явлениями (методы Бекона – Милля).

В 1662 г. был издан учебник «Логика Пор-Рояля». Его авторы П. Николь и А. Арно создали логическое учение, основанное на методологических принципах Р. Декарта (1596–1650).

Логика, созданная на основе учения Аристотеля, существовала до начала ХХ в. В ХХ в. активно развивается символическая (математическая) логика, основанная на идее немецкого ученого и философа Лейбница (1646–1716), о возможности сведения рассуждений к вычислениям. Такая логика начала формироваться в середине Х1Х в. Ее развитие связано с именами Дж. Буля, А.М. Де-Моргана, Ч. Пирса, Г. Фреге, русских мыслителей П.С. Порецкого и Е.Л. Буницкого и др. Первым капитальным трудом по символической логике была работа Б. Рассела и А. Уайтхеда «Principia Mathematika» в 3-х т., вышедшая в 19101913 гг. Эта работа вызвала революцию в логике.

Идеи диалектической логики восходят к античной и древневосточной философии, но законченную форму им придали только представители немецкой классической философии: Кант (1724–1804), Фихте (1762–1814), Шеллинг (1775–1854) и особенно Гегель (1770–1831), окончательно сформулировавший основные идеи диалектики с точки зрения объективного идеализма.

Диалектическую логику на материалистической основе разрабатывали К. Маркс, Ф. Энгельс, В. Ленин.

43.

ЛОГИКА В РОССИИ

— эволюция современной (математической) логики в России. Кон. 19 в. и нач. 20 в. знаменуют выход логики за рамки силлогистики и появление логиков-новаторов, таких как П.С. Порецкий, М.В. Каринский, Л.В. Рутковский, СИ. Поварнин, и др. Казанский логик Н.А. Васильев выступил автором «воображаемой логики» (1910, 1912), где он подверг критике закон противоречия. Наряду с пол. логиком Я. Лукасевичем Васильев стал основателем нового направления — паранепротиворечивой логики. В серии статей И.И. Жегалкин (1927—1929) предложил арифметизацию символической логики высказываний и предикатов.
В 1924 выходит статья М.И. Шейнфинкеля «О кирпичах здания математической логики», заложившая основы комбинаторной логики (впоследствии получившей развитие в работах X. Карри), а в 1925 появляется первое в России исследование в области интуиционистской логики. Эта была статья А.Н. Колмогорова «О принципе tertium non datur». В ней впервые представлена аксиоматика минимальной логики высказываний и предикатов. Позднее (1932) Колмогоров возвращается уже к собственно интуиционистскому исчислению, предложив его интерпретацию в виде «исчисления задач». В работе В.И. Гливенко (1929; рус. пер. 1998) впервые приведен пример перевода одной логики в другую, а именно классической в интуиционистскую. Так было положено начало целому направлению (бурно развивающемуся и сейчас): переводам и погружениям одних логических систем в другие. Несколько особняком стояла работа И.Е. Орлова «Исчисление совместности предложений» (1928), которая на самом деле оказалась исторически первой в мире работой по теории логического следования.
Уникальная история России 20 в. предопределила и уникальное развитие логики в ней, во многом непонятное для зап. историка науки. В жестко тоталитарной социальной системе логика, а главное истина, становятся предметом чисто идеологических манипуляций. «Формальная логика» начала подвергаться гонениям, в полной мере развернувшимся к кон. 1920-х гг. Тем не менее в кон. 1930-х и 1940-х гг. в математических жур. появляются работы Д.А. Бочвара, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, В.Ш. Шестакова. Последний создал логическую теорию контактно-релейных схем и разделил в этом приоритет с амер. математиком К. Шенноном.
В 1948 формальная логика возвращается в систему среднего и высшего образования. В этом же году созданы кафедры логики на филос. факультетах МГУ и ЛГУ; образуется сектор логики в Ин-те философии АН СССР (РАН). Однако положение логики в системе образования не остается независимым. Вышедший оригинальный учебник В.Ф. Асмуса (1947) подвергается критике, а в результате разгоревшейся дискуссии в 1950—1951 на страницах главного филос. официоза «Вопросы философии» и дискуссии по проблемам логики в МГУ и Ин-те философии было зафиксировано, что высшей ступенью мышления является диалектическая логика, а низшей — формальная. Сторонников последней такое соотношение явно не устраивало и на этом фоне все 1950-е и даже 1960-е гг. прошли в острой полемике.
В целях преодоления известного несоответствия между уровнем тогдашнего логико-философского образования и уровнем мировой логической культуры устанавливается практика переводов важнейших логических трудов: Д. Гильберта и Р. Аккермана «Основы теоретической логики» (1947), А. Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» (1948), Л. Витгенштейна «Логико-философский трактат» (1958), Р. Карнапа «Значение и необходимость» (1959), С.К. Клини «Введение в метаматематику» (1957) и А. Чёрча «Введение в математическую логику» (1960). Две последние книги берутся за основу при преподавании логики на филос. факультете МГУ и изучаются различными группами логиков, одну из которых организует А.А. Зиновьев. Налаживается контакт между логиками-философами и логиками-математиками. В противостоянии с «диалектиками» первые обратились за помощью ко вторым и получили ее. Семинары А.А. Маркова и С.А. Яновской на механико-математическом факультете МГУ стали первыми «университетами» для многих философов.
Определенным итогом непростого развития явилось издание «Философской энциклопедии» (1960— 1970), в которой логика в большинстве статей была представлена по возможности в полном виде.
На современном этапе развития логики порой трудно определить, что принадлежит к математической (символической), а что к филос. логике. Можно выделить, однако, некоторые наиболее интересные направления.
Конструктивная и интуиционистская логики. Возникновение и развитие конструктивного направления (на базе конструктивной логики) вызваны в первую очередь работами А.А. Маркова и созданием им в кон. 1940-х гг. теории нормальных алгорифмов. Эта же тема представлена в работах П.С. Новикова. В рамках классического подхода к логике теорию рекурсивных функций разрабатывает В.А. Успенский. С кон. 1960-х гг. А.С. Есенин-Вольпин начинает развивать ультраинтуиционистскую программу оснований математики и естественно-научных теорий.
Многозначные логики. В России сложилась хорошая школа многозначной логики. Первая оригинальная работа принадлежит Д.А. Бочвару (1938), его логика предназначалась для анализа парадокса Рассела. В 1960 вышла первая книга по многозначной логике, посвященная ее филос. проблемам (А.А. Зиновьев), а в 1997 в монографии А.С. Карпенко подведен определенный итог развития многозначной логики в России и за рубежом.
Другие не классические логики. Исследования в области неклассических логик приняли весьма широкий размах. Это вызвано расширением концептуального и технического аппарата, позволяющего подойти к анализу логической и филос. проблематики, недоступной для рассмотрения средствами только классической логики.
Начиная с 1980-х гг. появляются монографии по времени логике: А.Т. Ишмуратов (1981), Э.Ф. Караваев (1983), А.С. Карпенко (1990), A.M. Анисов (1991). Впервые логика норм (деонтическая логика) и оценок логика исследуются А.А. Ивиным (монографии в 1970 и 1973).
Отметим также, что исследование силлогистических теорий средствами символической логики — одно из ведущих направлений в современной российской логике (А.Л. Субботин, Е.К. Войшвилло, В.А. Смирнов, В.А. Бочаров, В.И. Маркин, В.М. Попов, К.И. Бахтияров, М.И. Бежанишвили, Л.И. Мчедлишвили и др.).
Логика и методология наук. В 1930-е гг. С.А. Яновская и В.Ф. Асмус начинают исследовать логико-методологические и филос. проблемы оснований математики. Появляются работы Яновской о роли абстракций и идеализации в познании и о способах введения понятий. Современную теорию понятия, привлекая средства символической логики, создает Войшвилло (1967,1989). Вопросам абстракции и образования понятий посвящена книга Д.П. Горского (1962); им же исследована специфика определений в различных теориях (1974). М.М. Новоселов вводит методологически важное понятие интервала абстракции и на его основе ряд таких понятий, как абстракция постоянства, абстракция индивидуации, абстракция неразличимости и др. И.Н. Бродский выявил роль отрицательных высказываний в познании (1973). В работах Ивина, Ю.В. Ивлева и др. активно развивалась теория аргументации.
Отметим концепцию Зиновьева о том, что три ветви старой философии: формальная логика, гносеология и онтология должны быть слиты в нечто единое при систематическом построении логики.
Закончился 20 в., страшный для России, с неисчислимыми жертвами и потерями. Величие логики как гуманитарной науки состояло отчасти в том, что она стала спасительным прибежищем для многих из тех, кто не захотел примкнуть к марксизму-ленинизму.

44.

ИНДУКТИВНАЯ ЛОГИКА – раздел логики, в котором изучается индукция. Индукция как познавательная процедура, приводящая к обобщению в результате обнаружения сходства наблюдаемых предметов, в современной логике может быть формализована различными средствами, образуя соответствующие варианты индуктивной логики. Вариант формализации индукции, предложенный Р.Карнапом, основан на интерпретации вероятности как логического отношения между двумя высказывания. Это отношение выражает степень подтверждения гипотезы h эмпирическими данными е, обычно понимаемыми как констатация результатов наблюдений. Р.Карнап отличает понятие логической вероятности от эмпирической вероятности, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Он использует язык логики предикатов первого порядка и «описания состояний» (модели), с помощью которых он вводит числовую функцию меры m, областью значений которой является закрытый числовой промежуток между 0 и 1. Сумма значений m -функции на «описаниях состояния» равна 1; m -функция логически ложных высказываний равна 0, а m -функция логически истинных высказываний равна 1. Высказывания, не являющиеся ни логически истинными, ни логически ложными, имеют значение m -функции, заключенное между 0 и 1. Степень подтверждения гипотезы h данными наблюдения e определяется как отношение значения m -функции для конъюнкции h и e к значению m -функции для е.

В индуктивной логике Р.Карнапа был получен пессимистический результат: индуктивная вероятность высказываний с квантором общности (т.е. индуктивных обобщений) равна нулю. Я.Хинтикка, используя созданный им формальный аппарат, показал, что в его версии индуктивной логики карнаповский результат об индуктивных обобщениях не имеет места.

Г. Рейхенбах развил концепцию индуктивной логики как бесконечнозначной вероятностной логики. Он в качестве исходной связки использовал импликацию вида «если «а» истинно, то «b» вероятно со степенью р». В вероятностной логике Г.Рейхенбаха истинностные значения понимаются как степени истинности, интерпретируемые как вероятности.

Новым направлением в индуктивной логике является автоматическое порождение гипотез. Целью исследований в этом направлении является формализация средств извлечения закономерностей из эмпирического материала, представленного в базах данных компьютерных систем. Схема индуктивного вывода в теориях автоматического порождения гипотез состоит в следующем: посылками вывода являются теоретические допущения и эмпирические утверждения, а следствием – теоретические утверждения, являющиеся идуктивными обобщениями. Оригинальная теория автоматического порождения гипотез (GUHA-метод) была предложена чешскими математиками П.Гаеком и Т.Гавранеком.

Известные методы обнаружения причинно-следственных зависимостей, предложенные Д.С.Миллем, оказались идейным импульсом для развития теории правдоподобных рассуждений типа ДСМ. Эта теория была реализована в интеллектуальных системах типа ДСМ, в которых формализован синтез познавательных процедур, представляющий взаимодействие индукции, аналогии и абдукции. Правдоподобные рассуждения этого типа формализуются посредством бесконечно значной логики с кванторами по кортежам переменной длины. Истинностные значения этой логики конструктивно порождаются посредством правил вывода первого и второго рода и приписываются автоматически обнаруженным гипотезам. Сначала посредством правил первого рода порождаются гипотезы о причинах, представляющих обнаруженное сходство в эмпирических данных. Гипотезы о причинах затем используются в правилах второго рода для вывода по аналогии, посредством которого формируется индуктивное обобщение. Критерием принятия порожденных гипотез является абдуктивный вывод, с помощью которого объясняется исходное состояние базы данных.

Важной проблемой индуктивной логики является формирование критерия принятия гипотез. Существуют различные формализации критерия принятия гипотез, использующие, в частности, степень подтверждения гипотез или абдукцию, объясняющую исходное множество фактов.

Понятия и процедуры индуктивной логики являются весьма полезными для применений в прикладных системах машинного обучения.

45.

Модальная логика — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Модальности

· Алетические (от древнегр. alethinos — истинный) модальные понятия:

· Логические

· L — необходимо

· M — возможно

· С — случайно

· Фактические

· — необходимо

· — возможно

· — случайно

· Деонтические(древнегр. deon, deontos — должное, необходимое) модальные понятия:

· обязательно

· разрешено

· запрещено

Логику деонтических модальностей разработал финский философ Георг фон Вригт

· Аксиологические (древнегр. axios — ценность) модальные понятия:

· хорошо

· нейтрально

· плохо

Аксиологическую логику разработал философ А.А. Ивин.

· Эпистемические (древнегр. episteme — знание) модальные понятия:

· знание

· полагание

· незнание

Эпистемическая логика разработана Яакко Хинтикка.

· Временные:

· прошлое

· настоящее

· будущее

· Пространственные:

· там

· здесь

· нигде

46.

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен.»^[1] Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).»^[2] Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов».^[3] Также А. А. Марковопределяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы».^[4] Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы и , то выводима и формула .

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики^{[ источник не указан 734 дня ]}.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.